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- bridgslam
- 25-11-2024 20:00:19
Bonsoir,
ok, du coup cela revient à la norme euclidienne en dimension $n^2$, on retrouve ses petits.
Bonne soirée
A.
- maxence_07
- 25-11-2024 19:41:30
Merci pour vos réponses.
Quant à l'erreur d'énoncé (oubli du carré sur les termes dans la somme afin de prendre la norme de Frobenius), je transmettrai à M. SAGE.
Bonne soirée.
- bridgslam
- 25-11-2024 09:20:45
Bonjour,
Ce que je viens d’écrire est tiré d’un cours de Marc Sage à l’Ecole Normale Supérieure d’Ulm. Je vous saurai gré de corriger les éventuelles erreurs commises si vous en trouvez.
Il y a plus précisément deux soucis, l' expression n'est pas cohérente ( les matrices ont $n^2$ éléments, vous indicez sur 2 indices, et d'autre part vous prenez la racine carrée d'une somme qui n'est pas garantie positive, si réelle, ou qui n'est pas forcément réelle si le corps est celui des complexes).
Peut-être un module autour des coefficients de la matrices a-t-il était shunté ?
Alain
- Fred
- 25-11-2024 08:51:17
Re-
On peut aussi faire la même chose avec des distances, mais c'est plus difficile. Imaginons qu'il existe une distance $d$ sur $E=\mathcal B([0,1],\mathbb R)$ telle que, pour toute suite $(f_n)$ et toute fonction $f,$ $(f_n)$ converge simplement vers $f$ si et seulement si $d(f_n,f)\to 0.$ Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, on pose
$$\varepsilon_n(x)=\sup_{d(f,0)<1/n} |f(x)|.$$
Eventuellement, $\varepsilon_n(x)=+\infty$ mais on peut quand même prouver que, pour tout $x\in X,$, $\varepsilon_n(x)\to 0.$
Si ce n'est pas le cas, il existe $\delta>0$ et une suite $(n_k)$ tendant vers $+\infty$ telle que $\varepsilon_{n_k}(x)\geq \delta.$
Ceci implique qu'il existe $f_k\in E$ tel que $d(f_k,0)<1/n_k$ et $|f_{n_k}(x)|\geq\delta.$ Puisque $d(f_k,0)\to 0,$ la suite $(f_k)$ converge simplement vers $f$ et il y a une contradiction.
Ainsi, si on pose $X_n=\{x\in[0,1]:\ \varepsilon_n(x)\leq 1/2\},$ on sait que $[0,1]=\bigcup_{n\geq 1}X_n.$
C'est ici qu'on utilise la non-dénombrabilité de $[0,1]$ mentionné par Eust_4che plus haut : un des $X_n$ est infini.
On peut donc construire une suite strictement croissante $(a_k)$ contenue dans $X_n$ (ou une suite strictement décroissante, éventuellement). On considère alors $f_k=\mathbf 1_{[a_k,a_{k+1}]}$ qui converge simplement vers $0$ (toujours une bosse glissante).
Mais puisque $f_k(a_k)\geq 1,$ on a forcément $d(f_k,0)\geq 1/n$.
F.
- maxence_07
- 25-11-2024 08:18:17
Merci, votre réponse m’a bien éclairé.
- Fred
- 25-11-2024 08:01:37
Bonjour,
Lorsque tu écris que $\|A_k-A\|\to 0,$ tu démontres plus que la convergence simple : tu démontres la convergence pour la norme de $\mathcal M_n(K),$ qui entraîne la convergence simple, c'est-à-dire que $\|A_kX-AX\|\to 0$ pour tout $X\in K^n.$ Il se trouve que sur $\mathcal M_n(K),$ la convergence simple est équivalente à la convergence pour la norme de $\mathcal M_n(K)$ : c'est une conséquence du fait que l'on travaille avec des applications linéaires en dimension finie. Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $K^n,$ il suffit que $A_k(e_i)\to A(e_i)$ pour que $\|A_k-A\|\to 0.$ Donc dans ce cas, pour n'importe quelle norme sur $\mathcal M_n(K)$, $(A_k)$ converge simplement vers $A$ si et seulement si $\|A_k-A\|\to 0.$
Mais ceci n'est pas vrai en toute généralité. Prenons par exemple l'espace vectoriel $E=\mathcal B(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions bornées de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ et considérons $\|\cdot\|$ une norme sur $E$. Posons $f_n=\mathbf 1_{[1/2n,1/n]}$ et $g_n=f_n/\|f_n\|.$ Alors $\|g_n\|=1$ (et donc $(g_n)$ ne converge pas vers $0$ vers la fonction nulle) alors que la suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction nulle (phénomène de bosse glissante).
F.
- maxence_07
- 25-11-2024 07:37:45
Ce que je viens d’écrire est tiré d’un cours de Marc Sage à l’Ecole Normale Supérieure d’Ulm. Je vous saurai gré de corriger les éventuelles erreurs commises si vous en trouvez.
Ce que vous soulevez est bien mon problème. Je ne considère absolument pas la convergence comme une propriété intrinsèque. Elle n’a effectivement du sens que si une norme lui est associée. D’où ma question : pourquoi la convergence n’est pas issue d’une norme ? En particulier, on définit la topologie de la convergence simple par la topologie des produits infinis.
- bridgslam
- 24-11-2024 23:46:15
Bonsoir ,
Il y a des erreurs dans votre expression de norme matricielle.
Et je ne vois pas le rapport avec votre questionnement initial.
J'ai par ailleurs l'impression que vous attachez une propriété absolue à la notion de convergence, alors qu'elle n'a de sens que dans le contexte d'une norme donnée, surtout dans les espaces de dimensions infinies.
Il ne faut pas voir cela comme une vertu intrinsèque à la suite de vecteurs considérée.
Dans des contextes plus généraux, on parle aussi de convergence avec la notion de voisinages et de filtres, sans aucun support numérique de normes ni de distance.
Alain
- maxence_07
- 24-11-2024 21:34:41
Prenons cet exemple :
On se place dans l'espace vectoriel normé $(\mathcal{M}_n(K), \| . \|)$ où pour $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(K)$ : $\lVert A \rVert = \sqrt{\sum _{i,j=1} ^n a_{i,j}}$. On munit $\mathcal{M}_n(K)$ de la topologie issue de la norme.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. La suite $A_k =A + \frac{1}{k}I_n$ converge simplement vers $A$.
En effet,
$$\|A_k - A\| = \left\| -\frac{1}{k}I_n \right\| = \frac{1}{k} \|I_n\| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$$
On vient de démontrer une convergence ponctuelle avec la norme de l'énoncé... Comment la convergence simple ne peut pas être issue d'une norme ?
- DeGeer
- 24-11-2024 19:50:04
Bonjour
Il faut savoir sur quoi on travaille pour éviter toute confusion. Les fonctions $f_n$ appartiennent par exemple à $\mathcal{C}([a,b])$, l'espace des fonctions continues sur le segment $[a,b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. Il y a plusieurs manières de définir la convergence sur cet espace. Par exemple la topologie issue de la norme infinie, qui correspond à la convergence uniforme.
Les $f_n(x)$, eux, appartiennent au corps de base, $\mathbb{R}$, muni de sa norme usuelle, c'est-à-dire la valeur absolue.
- maxence_07
- 24-11-2024 19:22:43
Cela éclairci déjà un peu ma problématique.
Mais pour dire que la suite $(f_n(x))_n$ tend vers $f(x)$, il faut définir en quelque sorte une distance, un moyen de mesurer à quel point $(f_n(x))_n$ est proche de $f(x)$. Comment savoir si quelque chose se rapproche d'une autre chose sans avoir défini une quelconque manière de mesurer ?
- maxence_07
- 24-11-2024 14:54:34
Je comprends mieux !
Auriez-vous des références à me communiquer afin d'approfondir le sujet ? La plupart des cours et bouquins que j'ai ne mentionne pas ces subtilités.
Merci.
- Eust_4che
- 24-11-2024 14:50:54
J'image qu'il est question de fonctions définies dans un intervalle de $\mathbf{R}$.
Dans ce cas, il n'existe pas de distance, et encore moins de norme, définissant la topologie de la convergence simple. Il n'existe aucune distance $d$ telle que l'on ait $d(f, f_n) \rightarrow 0$, si et seulement si, $(f_n) \rightarrow f$ simplement.
L'existence d'une distance sur l'espace d'arrivée est requise pour parler de la convergence simple et uniforme de fonctions. C'est tout.
L'exemple donné par bridgslam fonctionne parce que l'espace de départ n'est pas dénombrable. Si l'espace est dénombrable, par exemple si c'est $\mathbf{N}$, et si $d$ est une distance sur l'espace d'arrivée, l'application
\begin{equation*}
(f, g) \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\max(d(f(n), g(n)), 1)}{2^n}
\end{equation*}
est une distance définissant la topologie de la convergence simple.
- maxence_07
- 24-11-2024 14:18:59
Quand je disais que la notion était floue, sous-entendu pour moi.
J'ai compris la démonstration par l'absurde de Bridgslam.
Donc dire que la convergence simple ne peut pas être induite par une norme signifie qu'il n'existe aucune norme $N$ sur l'espace des fonctions telle que la convergence simple d'une suite de fonctions $f_n \rightarrow f$ équivaut à la condition $N(f_n , f ) \rightarrow 0$ ?
En fait, je ne vois pas pourquoi la convergence uniforme est issue d'une norme alors que la simple non, mais font toutes les deux appel, de manière similaire, à la notion de distance dans leurs définitions.
- Eust_4che
- 24-11-2024 13:04:50
Bonjour à tous et à toutes,
La notion n'est pas du tout flou. Mais j'ai l'impression que tu confonds "convergence issue d'une norme" et "convergence issue d'une distance". Si l'on dispose d'une topologie qui est issue d'une distance, on dit que la topologie est "métrisable". Le fait de savoir sous quelle(s) hypothèse(s) une topologie est métrisable est une question qui à grandement déterminée les recherches en topologie au début du siècle dernier. Il en a résulté toute un catégorisation des espaces topologiques (espaces séparés, espaces réguliers, espaces complement réguliers, espaces normaux, espaces de Lindelöf, etc.).
La notion de norme, elle, suppose déjà que l'on parte d'un espace vectoriel. Dans ce cas, une question qu'on pourrait se poser est la suivante : si je dispose d'une topologie sur mon espace vectoriel pour laquelle les opérations usuelles (addition et multiplication par un scalaire) sont continues, découle-t-elle d'une distance, d'une norme ?
La réponse à la première question est connue. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la topologie soit séparée et que le point $\{ 0 \}$ possède un système fondamental dénombrable de voisinage.
Je ne connais pas, en toute généralité, la réponse à la deuxième question. En revanche, si l'on impose à la topologie d'être localement convexe (ce qui est le plus souvent le cas), il suffit que la topologie soit métrisable et localement borné (mais la notion de parties bornées est propre aux espaces vectoriels topologiques. Il ne s'agit pas de la notion usuelle de parties bornées "pour une distance").
Edit : Lorsque l'espace de départ est dénombrable, la topologie de la convergence simple est bel est bien métrisable. Lorsque l'espace d'arrivée est un espace vectoriel normé, pour qu'elle est soit normable, il faut et il suffit que l'espace soit fini.
E.