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Orange99

Invité

Théorème de Gauss.

Bonsoir,

On sait qu'en arithmétique, le théorème de Gauss affirme la chose suivante,
Soit [tex](a,b,c) \in \mathbb{Z}^3[/tex].
On suppose que, [tex]a | bc[/tex], et [tex]a \wedge b = 1[/tex]
Alors,  [tex]a|c[/tex].

Est ce que l'assertion suivante est correcte aussi,
Soit [tex](a,b,c) \in \mathbb{Z}^3[/tex].
On suppose que, [tex]ab | c[/tex], et [tex]a \wedge c = 1[/tex]
Alors,  [tex]b|c[/tex].

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 229

Re : Théorème de Gauss.

Bonjour

Si a et c sont premiers entre eux, alors si ab divisé c, on a aussi a divisé c et finalement a vaut 1 ou -1.

F

bridgslam

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Re : Théorème de Gauss.

Bonjours,

Et par ailleurs, l'hypothèse "premiers entre eux" est inutile puisque b| ab et ab| c => b| c .

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

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Re : Théorème de Gauss.

Bonjour,

Par-contre il existe une réciproque au théorème de Gauss, à chercher en exercice, aussi bien pour l' énoncer ( exercer sa logique, phrases à tiroirs et quantificateurs) que pour la prouver ( talent arithmétique, pas le podium quand-même :-) ).
Je l'avais évoquée dans un post assez récent.
Gauss a donc eu le (gros) mérite de trouver une propriété spécifique à la relation "n et m premiers entre eux".

A.

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