Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir EC67675

Pas la peine, sur ce coup la formule originelle fonctionne très bien.

L’idée de base, c’est d’exprimer le nouveau score en fonction de l’ancien score et de ${x}$. Si les deux sont de même signe, on les ajoute, s’ils sont de sens contraire on repart sur ${x}$ tout seul. Fallait donc trouver le moyen, mathématiquement parlant, d’exprimer le signe d’une valeur ici par ${+1}$ ou par ${-1}$, et également d’annuler entièrement le score ou pas du tout.

En informatique c’est simple puisqu’on a des instructions signe, partie entière, vrai, faux, si ceci alors cela, etc. En mathématiques il est plus difficile d’exprimer les choses avec une formule et une seule. Écrire ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ marche très bien tant que ${x}$ est différent de zéro – et c’était le cas dans le petit problème proposé. Sauf que voilà, il aurait suffit que ${x}$ puisse prendre d’autres valeurs dont zéro pour que cela ne marche plus du tout, la division par zéro étant déclarée impossible.

Dans ce cas, je disais qu’à la place de ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ il faut plutôt écrire ${\Large{\frac {{{\rm e}^{nx}}-1}{{{\rm e}^{nx}}+1}}}$ qui renvoie également le signe selon les valeurs de ${x}$ même quand il est égal à zéro. Sauf qu’une fois encore, attention, faut quand même que ${n}$ soit grand. Par exemple si ${n=10}$ cela commence à se rapprocher de ce que l’on souhaite, mais si on calcule en virgule flottante cela risque de poser problème à cause des décimales. Avec ${n=100}$ il n’y a plus aucun problème même si on calcule en quadruple précision puisque ça sort effectivement ${-1}$,${0}$ ou ${1}$.

Petite démonstration avec Maple :

Avec ${n=10}$ on voit que pour des valeurs assez grandes ça marche, mais avec ${-1}$ ou ${1}$ on a une floppée de décimales gênantes. Avec ${n=100}$ c’est ${-1}$, ${0}$ ou ${1}$ quoi qu’il arrive.

Bonsoir,

C’est toujours bien de le savoir, mais je ne pense pas que cela soit bien nécessaire dans la mesure où avec WolframAlpha la fonction ${sgn()}$ marche déjà très bien : elle sort directement ${-1 / 0 / 1}$ en fonction de valeurs négatives / nulles / positives sans avoir besoin ni d’initialisation, ni de formule.

Ceci dit, depuis nos échanges je me suis penché sur la fonction ${sgn()}$ telle que la présente Wikipédia. D’une part je suis content d’avoir trouvé tout seul la formule ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ et d’autre part j’ai testé la fonction ${\Large{\frac {{{\rm e}^{100\,x}}-1}{{{\rm e}^{100\,x}}+1}}}$ qui sur ce problème donne le signe exact même en quadruple précision, et cela sans avoir à faire d’exception sur ${x}$.

Bonjour Wiwaxia,

Ici je voulais une formule mathématique, vu qu'avec un algorithme de programmation le problème était trivial. Et comme j’étais sûr d’éviter la division par zéro puisque x ne prenait que la valeur 1 ou -1, et comme cela marche aussi quel que soit S entier zéro compris, cela répondait bien à la demande je pense.

Par aillers je m'aperçois que ni WolframAlpha ni Maple18 ne connaissent de fonction H(x), c'est plutôt embêtant ça, difficile de s’en servir...

Bonjour Wiwaxia,

Cool. Je ne savais pas qu'on pouvait écrire des fonctions avec des si. Dans ce cas autant définir directement la fonction sgn(x) = -1 si x <0 et 1 sinon, non ? D'autant que j’ai l’impression que WolframAlpha est capable de gérer le truc sans problème, exemple.

Bonsoir tout le monde,

En me relisant je m’aperçois que j’aurais plutôt dû écrire que la fonction renvoyait une valeur correspondant au nouveau score en tenant compte de la règle du jeu vu que S en lui-même conserve sa valeur, mais bon, l’essentiel me semblait être de trouver la formule qui allait bien.

Ma démarche a été d’abord de savoir comment trouver le signe du score et également de x. En informatique on a une fonction dédiée souvent appelée SGN mais en mathématiques je n’en connais pas. Ensuite elle a été de trouver comment garder le score ou l’annuler en fonction de ces signes. Si je le garde on ajoute x vu que c’est de même signe, et si on l’annule on ajoute x aussi puisqu’il est de signe contraire – et donc on passe à l’unité de l’autre côté du zéro, donc dans tous les cas on ajoute x.

Restait à trouver comment garder ou annuler. Et là je me suis dit que ça marchait avec un score divisé par deux suivi d'un signe + ou - devant le score lui aussi divisé par deux. Soit j'ajoute les deux et j'obtiens bien le score originel, soit je retire le deuxième au premier et comme c'est la même chose il se retrouve à zéro.

Voili voilou.

Re,

cela me fait penser à une notation du genre ± 2ⁿ⁺¹
mais à bidouiller ?

B-m

Re,

@Bernard-maths
Alors, où en es-tu ?

Moi, j'ai pris de l'avance ;-D....

@+