Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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Produit scalaire

Bonsoir

s'il vous plait , dzns une forme quadratique on a <Ax,x> avec A définie positive et symétrique
ma question : est-ce qu'on a <Ax,x>=x^TAx et pourquoi , parce que je vois que dans certains exos on travaille avec l'égalité avec du transposée , je ne comprends pas le passage , pourriez-vous me clarifier ?

Merci beaucoup

Dernière modification par tilda (23-01-2024 23:00:28)

Roro

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Re : Produit scalaire

Bonjour,

Comment as-tu défini ton produit scalaire ? La réponse à ta question est dans cette définition...

Roro.

tilda

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Re : Produit scalaire

Bonjour

dans la définition standard d'une forme quadratique on définit f(x)=1/2 <Ax,x> - <b,x> +c
on peut l'écrire d'une manière équivalente comme suit : f(x)= 1/2 x^TAx - b^Tx + c

le passage au transposé que je n'ai pas compris

Michel Coste

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Re : Produit scalaire

Bonjour,
Où as-tu pêché cette "définition standard" de forme quadratique ? Ce que tu écris n'est pas une forme quadratique.
Eensuite, quelle est la définition du crochet $\langle x,y\rangle$ ? Si $x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ sont des vecteurs colonnes de $K^n$, ce peut être $\langle x,y\rangle= \sum_{i=1}^nx_iy_i=x^{\mathsf T}y$ ; est-ce bien ce à quoi tu penses ?
Si c'est le cas, alors pour toute matrice carrée $A$ de taille $n$, on a $\langle Ax,y\rangle=(Ax)^{\mathsf T}y=x^{\mathsf T}A^{\mathsf T}y$. Si $A$ est en plus symétrique, ce qui veut dire $A^{\mathsf T}=A$, on a bien  $\langle Ax,y\rangle=x^{\mathsf T}Ay$.

tilda

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Re : Produit scalaire

Bonjour
pardon , je voulais dire peut-être fonction quadratique ?
dans un produit scalaire ( en dedans des crochets ) , on écrit toujours les vecteurs en forme colonne ?
je n'ai pas compris le passage de la somme à x^Ty (pourquoi T est non pas juste xy ?)

Dernière modification par tilda (24-01-2024 09:58:52)

Michel Coste

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Re : Produit scalaire

Euh, réfléchis ... Que vaut le produit matriciel $\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ ?

tilda

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Re : Produit scalaire

c'est exactement la somme que vous avez écrite ?

Michel Coste

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Re : Produit scalaire

Tu as des doutes sur le produit matriciel ?

tilda

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Re : Produit scalaire

Non , mais je confonds avec u u^t qui donne une matrice avec u vecteur colonne

Michel Coste

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Re : Produit scalaire

Qu'est-ce que ça veut dire, "avec u vecteur colonne" ?

tilda

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Re : Produit scalaire

$\begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}$

Michel Coste

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Re : Produit scalaire

Ah, je crois que j'ai compris que tu voulais dire que $uu^{\mathsf T}$ est une matrice $n\times n$.