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Safooo

Invité

Ouvert et boule /espace métrique usuelle

Bonjour, svp est-ce que dans l'espace métrique R muni de la distance usuelle ,est ce que chaque ouvert est une boule ??

Glozi

Invité

Re : Ouvert et boule /espace métrique usuelle

Bonsoir,
$]0,1[\cup]2,3[$ est ouvert mais n'est pas une boule
$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ est ouvert mais n'est pas une boule.
$\mathbb{R}$ est ouvert mais n'est pas une boule (car une boule a un rayon $r$ qui est un réel positif).
$[-1,1]$ est une boule (fermée) et n'est pas ouvert.
En revanche toutes les boules ouvertes sont des ouverts (heureusement, sinon un "boule ouverte" porterait mal son nom !)
Bonne soirée

bridgslam

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Re : Ouvert et boule /espace métrique usuelle

Bonjour,

En complément des informations fournies de Glozi, par-contre tout ouvert ( dont $\emptyset $ ) est une réunion de boules ouvertes.
Phénomène d'autant plus remarquable qu'il n'est pas si courant en dehors des espaces métriques que base et prébase coïncident.

Mais  l'intersection de deux boules ouvertes, qui n'en est pas généralement une dans un espace métrique ( sauf cas particulier de distances, comme les ultramétriques), est bien-sûr une réunion de boules ouvertes ( peut être vu comme la raison sous-jacente de la propriété mentionnée ).
Dans $\mathbb{R}$ c'est plus rigide,  l'intersection de deux intervalles ouverts qui se rencontrent est un intervalle ouvert non vide.
A.

Dernière modification par bridgslam (18-12-2023 11:39:37)