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Vassillia

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Pont improvisé

Bonjour,
Si vous le voulez bien, je vous propose une petite énigme que j'aime beaucoup (de Martin Gardner). Je l'avais déjà posté ailleurs mais les réflexions s'étaient arrêtées avant la conclusion sur la limite.

Je veux accéder à l'ilot central en noir qui est un carré de 100m de coté en partant d'un point sur la circonférence de la figure également en noir. Malheureusement, je dois traverser un fossé de largeur L avec de l'eau infesté de piranhas donc je ne peux y aller à la nage.

J'ai n planches de longueur 10m assimilées à des segments que je vais utiliser pour construire un pont.
Quelle est la distance L maximale que je peux franchir ? On peut considérer que le recouvrement nécessaire à chaque extrémité des planches pour la solidité du pont est assimilé à un point.

On cherchera d'abord pour n allant de 1 à 5 puis on pourra tenter une limite.
Amusez-vous bien si le sujet vous intéresse.

Glozi

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Re : Pont improvisé

Bonjour,
Merci pour l'énigme !

J'imagine que ce que tu signifies c'est qu'il faut et qu'il suffit que les deux extrémités d'une planche soit posées sur une surface "stable" pour que la planche elle même devienne stable et puisse être utilisée comme support (sachant qu'au début la terre ferme et l’ilot sont les seules surfaces stables).

Ainsi avec une planche on peut traverser $L=10m$ (pas trop compliqué)
Avec deux planches, en en mettant une en diagonale dans un coin du grand carré, et l'autre reposant entre cette première planche et l'ilot, on peut atteindre une distance maximale de $\sqrt{2}L=10+5$ soit $L=15/\sqrt{2}\sim 10,61m$ on n'a pas gagné beaucoup...
Avec trois planches, ça devient pénible, mais je trouve numériquement $L\sim 11,4m$ (mais ne pas faire confiance à mon talent sur géogebra...)

▼une hypothèse pour la limite

Pour la limite je dirais intuitivement que $L\to \infty$ lorsque $n\to \infty$. En effet, voici un raisonnement peu rigoureux :
On part d'un coin du carré extérieur, on a un quart de plan vide (il y a de l'eau dans tout ce quart de plan). Avec une planche de 1m, on rajoute un triangle  sur lequel on peut marcher, on considère donc une surface qui est un triangle plein qui est délimité par la planche qu'on vient d'ajouter, et les demi-axes de notre repère (le quart de plan). Cette surface "parquet" est donc une surface qui grandit au sens large à chaque fois qu'on rajoute une planche, supposons que $L\to L_\infty<\infty$, alors en rajoutant systématiquement des planches cette surface parquet va grandir mais va donc devoir converger vers une forme limite qui n'est pas le quart de plan tout entier. Si cette forme limite à laquelle on rajoute les deux demi-axes du quart de plan n'est pas convexe, c'est que cette surface présente encore un "creux concave", alors on peut rajouter un nombre fini de planches dans ce creux ce qui augmente strictement notre surface parquet (contradiction). C'est donc que la forme limite ne présente aucun "creux concave" et que son union avec les deux demi-axes est convexe. Ceci est impossible à moins que cette surface soit le quart de plan tout entier.

M'enfin faudrait que je me convainque moi même que cela peu être rendu bien rigoureux...

Si c'est bien le cas, je me demande s'il est possible d'obtenir une asymptotique de $L(n)$, (je ne crois pas en l'existence d'une formule exacte...)

Bonne journée

Vassillia

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Re : Pont improvisé

Merci pour ta participation

OK pour n=1 (sans surprise)
Bien joué pour n=2 et n=3 même si la valeur la plus proche serait plutôt 11,3m

Par contre, je ne comprends pas trop ton hypothèse pour la limite.
D'accord pour ne pas avoir de creux concave mais pourquoi on ne serait pas bloqué sur un triangle rectangle isocèle de sommet l'intersection de tes demi-axes ? Il serait tout ce qu'il y a de plus convexe même en étant fini ou alors je n'ai pas compris de quoi tu parles.

Glozi

Invité

Re : Pont improvisé

En gros je transforme le problème en le suivant :
On oublie l'ilot. On considère le quart de plan $(\mathbb{R}_+)^2$, la "zone solide" est par définition initialement composée des deux demi-axes infinis $\mathbb{R}_+\times \{0\}$ et $\{0\}\times \mathbb{R}_+$. On a le droit de dessiner dans le plan des segments de longueur $10$ pourvu que les deux extrémités du segment soient dans la zone solide. Le segment se rajoute alors à la zone solide. Par ailleurs on a une "surface découverte" qui par définition est initialement l'union des mêmes deux demis-axes infinis (à ce moment là ce n'est topologiquement pas vraiment une surface). Lorsqu'on ajoute une arête, on rajoute à cette surface découverte tous les points "emprisonnés" entre l'actuelle surface découverte et l'arête qu'on vient d'ajouter.

La question devient, est-il possible via ce procéder d'avoir une surface découverte qui recouvre tout le quart de plan ou alors va-t-on avoir une (ou des) forme(s) limite(s) ?

Puisque lorsqu'on ajoute des arêtes, la surface découverte ne fait que grossir (au sens large), alors on va atteindre une forme limite (sorte de théorème de la limite monotone, à voir ce que donne avec de la rigueur). Si on atteint une forme limite maximale qui ne peut plus grossir par ajout d'arête, alors cette surface est forcément convexe (là faut démontrer un truc, ce que je n'ai pas fait rigoureusement), donc en particulier elle contient l'enveloppe convexe des demis-axes infinis à savoir le quart de plan $(\mathbb{R}_+)^2$, et donc cette surface maximale limite est forcément le quart de plan tout entier.

Est-ce que le problème tel que je l'ai énoncé ci dessus montre bien que $L(n)\xrightarrow[n\to \infty]\infty$ (pour ton problème avec ilot ?
La réponse me semble positive. Soit $L>0$, fixé, dans mon problème je prends un nombre d'arêtes $N$ qui permet d'avoir une structure solide qui nous donne une surface découverte contenant le carré $[0,L]\times [0,L]$. Les arêtes posées pour construire la structure l'ont été uniquement grâce au support initial des demi-axes infinis, et donc ces arêtes pourront également être posées dans ton contexte où on a une surface solide initiale beaucoup plus importante. Ainsi pour $n\geq N$ on peut rebâtir cette structure qui touche par construction le point $(L,L)$ appartenant à l'ilot, et donc $L(n)\geq L$.

Sauf erreur(s) de ma part.

Vassillia

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Re : Pont improvisé

Ah je n'avais pas compris alors donc je ne vois pas d'erreur et je trouve l'argument particulièrement efficace.