Forum de mathématiques - Bibm@th.net

En gros je transforme le problème en le suivant :
On oublie l'ilot. On considère le quart de plan $(\mathbb{R}_+)^2$, la "zone solide" est par définition initialement composée des deux demi-axes infinis $\mathbb{R}_+\times \{0\}$ et $\{0\}\times \mathbb{R}_+$. On a le droit de dessiner dans le plan des segments de longueur $10$ pourvu que les deux extrémités du segment soient dans la zone solide. Le segment se rajoute alors à la zone solide. Par ailleurs on a une "surface découverte" qui par définition est initialement l'union des mêmes deux demis-axes infinis (à ce moment là ce n'est topologiquement pas vraiment une surface). Lorsqu'on ajoute une arête, on rajoute à cette surface découverte tous les points "emprisonnés" entre l'actuelle surface découverte et l'arête qu'on vient d'ajouter.

La question devient, est-il possible via ce procéder d'avoir une surface découverte qui recouvre tout le quart de plan ou alors va-t-on avoir une (ou des) forme(s) limite(s) ?

Puisque lorsqu'on ajoute des arêtes, la surface découverte ne fait que grossir (au sens large), alors on va atteindre une forme limite (sorte de théorème de la limite monotone, à voir ce que donne avec de la rigueur). Si on atteint une forme limite maximale qui ne peut plus grossir par ajout d'arête, alors cette surface est forcément convexe (là faut démontrer un truc, ce que je n'ai pas fait rigoureusement), donc en particulier elle contient l'enveloppe convexe des demis-axes infinis à savoir le quart de plan $(\mathbb{R}_+)^2$, et donc cette surface maximale limite est forcément le quart de plan tout entier.

Est-ce que le problème tel que je l'ai énoncé ci dessus montre bien que $L(n)\xrightarrow[n\to \infty]\infty$ (pour ton problème avec ilot ?
La réponse me semble positive. Soit $L>0$, fixé, dans mon problème je prends un nombre d'arêtes $N$ qui permet d'avoir une structure solide qui nous donne une surface découverte contenant le carré $[0,L]\times [0,L]$. Les arêtes posées pour construire la structure l'ont été uniquement grâce au support initial des demi-axes infinis, et donc ces arêtes pourront également être posées dans ton contexte où on a une surface solide initiale beaucoup plus importante. Ainsi pour $n\geq N$ on peut rebâtir cette structure qui touche par construction le point $(L,L)$ appartenant à l'ilot, et donc $L(n)\geq L$.

Sauf erreur(s) de ma part.

Bonjour,
Merci pour l'énigme !

J'imagine que ce que tu signifies c'est qu'il faut et qu'il suffit que les deux extrémités d'une planche soit posées sur une surface "stable" pour que la planche elle même devienne stable et puisse être utilisée comme support (sachant qu'au début la terre ferme et l’ilot sont les seules surfaces stables).

Ainsi avec une planche on peut traverser $L=10m$ (pas trop compliqué)
Avec deux planches, en en mettant une en diagonale dans un coin du grand carré, et l'autre reposant entre cette première planche et l'ilot, on peut atteindre une distance maximale de $\sqrt{2}L=10+5$ soit $L=15/\sqrt{2}\sim 10,61m$ on n'a pas gagné beaucoup...
Avec trois planches, ça devient pénible, mais je trouve numériquement $L\sim 11,4m$ (mais ne pas faire confiance à mon talent sur géogebra...)

Bonne journée