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Moonspeech

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Matrice définie positive

Bonjour à tous,

J'aimerais des éclaircissement sur une notion.

Dans mon cours, on dit qu'une matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ a priori quelconque, est définie positive si $\forall X \in \mathbb{R}^n, X^TAX >0$.

Or, j'ai vu que sur votre site ceci était la définition de matrice définie positive à la condition que celle-ci soit symétrique.

Je me demande alors si l'hypothèse de symétrie est superflue ou non.

En vous remerciant de votre réponse.

Glozi

Invité

Re : Matrice définie positive

Bonjour,
Déjà il faut bien préciser que dans ta condition $X\neq 0$ (car sinon ta condition devient impossible).
Ensuite ce n'est qu'une histoire de définitions (du moment qu'on sait de quoi on parle !), mais personnellement je n'ai jamais vu quelqu'un parler d'une matrice positive si cette dernière n'était pas déjà symétrique...

Effectivement, un des buts est par exemple de définir un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ par $(X|Y)_A := X^TAY$. Si on veut que cette forme bilinéaire soit bien symétrique (une des propriétés du produit scalaire) il faut bien que $A$ soit symétrique.

NB : Si $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et si $X=(x,y)^T\neq 0$ on a $X^TAX = (x,y)(x+y,y)^T = x^2+xy+y^2 = (x+y/2)^2+\frac{3}{4}y^2>0$.
Ainsi la matrice $A$ vérifie ta condition mais elle n'est pour moi pas une matrice définie positive car elle n'est pas symétrique. (ce n'est encore une fois qu'une histoire de définitions).

Bonne journée

Moonspeech

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Re : Matrice définie positive

Je vous remercie, cette réponse me convient parfaitement.

Bonne journée.