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Dr_Piradians

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Intersection sur un ensemble qui est une réunion

Bonjour. Soit $I=\bigcup\limits_{j\in J}I_j$. Il faut démontrer que $\bigcap\limits_{i\in I}E_i=\bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i)$.

On a par définition $\bigcap\limits_{i\in I}E_i=\{x\mid\forall i\in I,x\in E_i\}=\{x\mid\forall i\in\bigcup\limits_{j\in J}I_j,x\in E_i\}$
Et on a par définition $\bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i)=\bigcap\limits_{j\in J}\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}=\{y\mid\forall j\in J,y\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}\}$.

Comment on démontre que $\{x\mid\forall i\in\bigcup\limits_{j\in J}I_j,x\in E_i\}=\{y\mid\forall j\in J,y\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}\}$ ?
Il semblerait que la quantification $\forall j\in J$ devienne $\bigcup\limits_{j\in J}$, mais comment ça se démontre ?

[Edit Fred : j'ai changé le titre pour que ce soit plus clair...]

Dernière modification par Dr_Piradians (03-09-2023 10:40:27)

Amade75

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

En fait pour la première égalité il s'agit de l'associativité de l'intersection. Elle est immédiate à travers la définition. Pour ta dernière question j'avoue ne pas avoir bien compris quand tu dis que
$\forall j\in J$ devienne $\bigcup\limits_{j\in J}$.

Dr_Piradians

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

Qu'est-ce que tu appelles "première égalité" ? celle de la 2ème ligne ?

Ma dernière question renvoie à l'égalité se trouvant dans ligne juste au-dessus. Si on compare les 2 membres, on voit que dans le membre de droite on a un $\forall j\in J$ et dans le membre de gauche on a $\bigcup\limits_{j\in J}$.

modifié : à moins que tu parles de la 1ère ligne. Mais dans ce cas cette égalité est équivalente à celle se trouvant sur l'avant-dernière ligne. Tu dis que cette égalité est immédiate à travers la définition. Désolé, moi je ne vois rien d'évident. Je dois justement démontrer cette égalité en utilisant les définitions de chacun des membres.

Dernière modification par Dr_Piradians (03-09-2023 14:15:12)

Dr_Piradians

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

La dernière égalité peut aussi s'écrire $\{x\mid\forall i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\},x\in E_i\}=\{y\mid\forall j\in J,y\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}\}$

Amade75

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

Quand je parle de première égalité je me réfère tout simplement à l'égalité initiale de la démonstration.

En fait pour la démonstration c'est l'immédiat des définitions.

$x\in \bigcap\limits_{i\in I}E_i \iff \{ \forall i\in I , x\in E_i \}$ (d'après la définition de l'intersection) alors que $x\in \bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i) \iff \{ \forall j\in J , x\in (\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i \}$. On sait que $x\in \bigcap\limits_{i\in I_j}E_i \iff \{ \forall i\in I_j , x\in E_i \}$ ceci implique que $x\in \bigcap\limits_{j\in J}(\bigcap\limits_{i\in I_j}E_i) \iff  \{ \forall j\in J , \forall i\in I_j , x\in E_j\}$. D'où l'égalité.

En fait dans la démonstration tu est préférable remplacer les accolades par des parenthèses.

Dernière modification par Amade75 (03-09-2023 16:27:55)

Amade75

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

Pour répondre à ta question de la dernière égalité, n'est-il pas mieux que tu fasses la démonstration de l'associativité de la réunion pour avoir une aperçu ?

Dr_Piradians

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

Ok. A la toute fin, j'aurais écrit plutôt $\forall j\in J, x\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}$ mais je suppose que ça doit être équivalent à ce que tu as écris (bien que je n'ai pas de certitude à 100%, et c'est ce qui me pose un peu problème).

Dr_Piradians

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

(suite)...et donc on aurait également , pour reprendre ma dernière égalité, $\forall i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}$ qui est équivalent à $\forall j\in J,\forall i\in I_j$

Ce qu'il me faudrait, ce sont les règles d'algèbres booléennes qui permettent d'affirmer une telle chose.

Dernière modification par Dr_Piradians (03-09-2023 17:15:07)

Dr_Piradians

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Re : Intersection sur un ensemble qui est une réunion

(suite)...j'en déduis
$\forall i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\forall j\in J,\forall i\in I_j$
$\exists i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\exists j\in J,\exists i\in I_j$
$\forall i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$
$\exists i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$

Je ne suis pas sûr pour les 2 premières équivalences, et j'aimerais bien qu'on me renseigne pour les 2 dernières, et surtout qu'on m'explique les règles de l'algèbres booléennes lorsque les quantificateurs sont imbriqués les uns à l'intérieur des autres.

modifié : mon cours de première année L1 ne parle pas des quantificateurs imbriqués. Il s'agit de problèmes que je ne suis pas en mesure de résoudre si je n'ai pas étudié les préceptes correspondants.

Dernière modification par Dr_Piradians (03-09-2023 17:56:20)