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Brips

Invité

Spectre d'un opérateur borné

Bonjour !
Je suis en train de relire la correction d'un exercice que l'on a corrigé en TD et je me rends compte qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas...
On utilise le fait que le spectre d'un opérateur est fermé, ce qui ne me parait pas évident. Je pense d'ailleurs que c'est faux en général mais ici notre opérateur est borné, est-ce que c'est ça qui le garantit ? Et comment le prouver ?

Merci beaucoup pour votre aide, je suis un peu perdue

Fred

Administrateur

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Re : Spectre d'un opérateur borné

Bonjour

  C'est une conséquence du fait que l'ensemble des opérateurs continus inversibles est ouvert.

F.

Brips

Invité

Re : Spectre d'un opérateur borné

Merci,

Si j'ai bien compris, par passage au complémentaire, on a que l'ensemble des opérateurs continus non inversibles est fermé.
Si $A$ est un opérateur borné, alors pour tout $\lambda$ complexe, $A-\lambda I$ est aussi borné donc continu.
Donc $Sp(A)$ est inclus dans l'ensemble des opérateurs continus non inversibles.
je ne vois pas trop comment conclure

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Spectre d'un opérateur borné

Re-

  Attention aux objets que tu manipules : $Sp(A)$ est une partie de $\mathbb C,$ en aucun cas ce ne peut être contenu dans l'ensemble
des opérateurs non inversibles.

Mon idée est la suivante : je vais plutôt démontrer que le complémentaire de $Sp(A)$ est ouvert. Pour cela, je choisis $\lambda$ qui n'est pas dans $Sp(A)$. Alors $A-\lambda I$ est inversible. Donc il existe $\delta>0$ tel que, si $\|B-(A-\lambda I)\|<\delta,$ alors
$B$ est inversible. En particulier, c'est vrai si $B=A-\mu I$ avec $|\mu-\lambda|<\delta.$

F.

Brips

Invité

Re : Spectre d'un opérateur borné

j'ai compris, merci !