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yoshi

Modo Ferox

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Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

B'jour,

Voilà de quoi réfléchir...
J'ai déjà évoqué cette situation autour des années 2010...
Depuis, les bénévoles se sont bien renouvelés, je peux donc... la ressortir du placard.
Un champ circulaire de centre O et de rayon OM =r

Un point O' sur le cercle.
Ce point O' figure un poteau vertical auquel est attaché une ficelle [O'M] souple sans épaisseur. Le point M figure un mouton baptisé N comme neuneu...
On veut qu'il puisse brouter la moitié de la surface du champ O.
Donc, quelle doit être la longueur l de la ficelle O'N pour que ce brave neuneu puisse brouter (surface verte) exactement la moitié de la surface du champ (O) ?

Pas la peine d'ergoter, on fait des maths, pas de la physique... ^_^

Ce problème a une histoire.
Il y a plus de 20 ans, je l'avais trouvé (je ne sais plus où) et à l'occasion d'un pot, je l'avais montré à un copain prof en Maths Sup : il avait sorti un stylo, un morceau de feuille et commencé à griffonner...
En très peu de temps, il avait relevé la tête, m'avait regardé en rigolant et m'avait dit : y en a qui vont te bénir demain matin quand je leur soumettrai.

Allez, ça devrait vous occuper un peu plus de temps que les énigmes de FAIZE852... ;-)

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Glozi

Invité

Re : Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

Bonsoir,
Merci pour l'énigme !
Je n'ai pas de solution complète seulement une piste

▼piste

Je fais tout pour $r=1$ puisque à la fin $\ell$ est proportionnel à $r$.

Notons $N_1$ et $N_2$ les deux points d'intersection des deux cercles.
Notons $\theta$ la moitié de l'angle $(\vec{O'N_1},\vec{O'N_2})$.

Alors on calcule que $\theta = Arccos(\ell/2)$
La surface verte peut s’écrire comme $A_1+A_2-A_3$ où
$A_1$ la surface du secteur angulaire $\vec{O'N_1}$, $\vec{O'N_2}$, on calcule $A_1= \theta \ell^2$.
$A_2$ la surface du secteur angulaire $\vec{ON_2}$, $\vec{ON_1}$, on calcule $A_2 = \pi-2\theta$.
$A_3$ la surface comptée deux fois, à savoir la somme des surfaces du triangle $OO'N_1$ et du triangle $OO'N_2$ ainsi $A_3= \ell\sin(\theta)$

Finalement la surface verte s'écrit $A= \theta\ell^2+\pi-2\theta -\ell\sin(\theta)$
On veut $A=\pi/2$.
Si je remplace $\ell$ par $\ell=2\cos(\theta)$
alors après calculs on aboutit à $\sin(2\theta)-2\theta\cos(2\theta)=\pi/2$.
Je ne sais pas résoudre cette équation, ni quoi dire sur $\ell=2\cos(\theta)$ avec $\theta$ solution. Mais j'ai un doute sur l’existence d'une solution avec une expression simple (je me trompe peut-être).

Numériquement, on trouve $\ell\sim 1.15873...$ si je ne m'abuse.
Je trouve cette réponse assez moche... Quelqu'un aura peut-être une solution plus jolie, j'ai hâte de la voir !

Bonne soirée

Wiwaxia

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Re : Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

Bonjour,

J'ai déjà eu l'occasion de connaître l'énoncé, mais n'ai jamais entrepris de le résoudre. J'ai repris et complété le dessin de Yoshi.

▼Texte caché

La figure admet pour axe de symétrie la droite passant par les centres (O, O').
Elle contient deux triangles isocèles adjacents de sommet (O) puisque l'on a: OO' = OA = OB = r (rayon du champ circulaire),
elle on a par ailleurs: O'H = O'A = O'B = l (longueur de la laisse).

L'aire (S) de l'intersection des deux zones circulaires est donnée par la somme de trois termes:
a) L'aire S(O'AHB) du secteur circulaire de centre (O'), d'angle (2θ) et de rayon

l = O'A = 2*OA*Cos(θ) = 2r.Cos(θ),

qui admet pour expression:

S(O'AHB) = πl²(2θ)/2π) = θl² = 4θr²Cos²(θ)

b) les aires des zones circulaires (S(O'IAI'), S(O'JBJ')) égales entre elles par raison de symétrie, et résultant chacune de la différence entre les aires respectives du secteur circulaire occupé et du triangle correspondant:

S(O'I'AI) = S(OO'I'A) - S(OO'A) ,
S(O'J'BJ) = 5(OO'J'B) - S(OO'B) ;

il vient dans les deux cas:

S(O'I'AI) = S(O'J'BJ) = πr²(π - 2θ)/(2π) - (1/2)2r.Cos(θ).r.Sin(θ))= (π/2 - θ)r² - r²Sin(θ)Cos(θ) .

On obtient ainsi sauf erreur (à vérifier):

S = S(O'AHB) + 2*S(O'IAI') = 4θr²Cos²(θ) + 2[(π/2 - θ)r² - r²Sin(θ)Cos(θ)] ,

soit finalement

S = 4θr²Cos²(θ) + (π - 2θ)r² - 2r²Sin(θ)Cos(θ) .

Cas Particuliers:
# θ = 0 : le mouton peut brouter tout le champ, et il vient alors S(0) = πr² ;
# θ = π/2: S(π/2) = 0 - la laisse est de longueur nulle , et c'est un cas de maltraitance à signaler immédiatement à la SPA.

Je dois m'arrêter ici pour l'instant. Il ne reste plus qu'à résoudre S(θ) = (π/2)r². Cela devrait confirmer le résultat de Glozi, rapidement consulté après postage.

Dernière modification par Wiwaxia (05-06-2023 08:37:38)

Wiwaxia

Membre

Lieu : Paris 75013

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Re : Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

Je reprend donc l'équation S(θ) = (π/2)r² en y injectant l'expression précédemment trouvée

▼Texte caché

S(θ) = 4θr²Cos²(θ) + (π - 2θ)r² - 2r²Sin(θ)Cos(θ) ;

il vient alors: πr² = 8θr²Cos²(θ) + 2(π - 2θ)r² - 2r²Sin(2θ)
ce qui en simplifiant par (r²) conduit à:

π = 8θCos²(θ) + 2(π - 2θ) - 2Sin(2θ)

soit encore:

-π + 2Sin(2θ) = 4θ[2Cos²(θ) - 1] = 4θ.Cos(2θ) ,

résultat identique à un facteur près à celui trouvé par Glozi:

sin(2θ)−2θcos(2θ) = π/2 .

Le calcul est donc vraisemblablement correct.

La recherche du zéro de la fonction F(θ) = 4θ.Cos(2θ) + π - 2Sin(2θ) sur une calculatrice donne

θ = 0.952 847 864 654 95 ± 12E-14

et l'on obtient pour la longueur de la laisse:

l = 2r.Cos(θ) = 1.158 728 473 018 2*r

résultat concordant avec le précédent.

... Numériquement, on trouve $\ell\sim 1.15873...$ si je ne m'abuse.
Je trouve cette réponse assez moche... Quelqu'un aura peut-être une solution plus jolie, j'ai hâte de la voir ! ...

Il n'y a malheureusement pas de remède cosmétique concernant l'aspect de cette équation, parce que les expressions des aires partielles font directement intervenir des angles (pour les secteurs circulaires) et des fonctions trigonométriques (pour les longueurs).
Le problème posé n'admet pas de solution explicite.

Dernière modification par Wiwaxia (04-06-2023 17:29:27)

Glozi

Invité

Re : Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

Bonsoir,
Je vois que nous trouvons la même solution avec Wiwaxia (il est peu probable que nous nous soyons tous les deux trompés !)
J'avais réfléchi à une autre méthode pour attaquer le problème qui doit être plus ou moins équivalente.

▼autre méthode

Je reste encore avec $r=1$. On note $A(\ell)$ l'aire de la zone verte (dépendant de $\ell\in [0,2]$).
L'idée est de regarder la dérivée $A'(l)$. En effet on voit intuitivement que $A'(\ell)$ correspond à la longueur de l'arc $\vec{O'N_1}$, $\vec{O'N_2}$ (avec les notations de mon précédent post).
On a donc $A(0)=0$ et $A'(\ell)= 2\theta\ell= 2\ell Arccos(\ell/2)$
Ce qui est amusant c'est qu'on peut calculer une primitive de $x\mapsto x Arccos(x)$ (il doit s'agir d'une série d’intégrations par parties mais je laisse faire wolfram alpha qui est très fort là dessus).
On trouve une formule horrible :
$A(\ell) = -\frac{1}{2} \ell\sqrt{4-\ell^2} + \ell^2 Arccos(\ell/2)+2Arcsin(\ell/2)$.
Encore une fois pas de solution explicite pour l'équation $A(\ell)=\pi/2$.

Au fait, j'ai fini par farfouiller sur internet et j'ai trouvé la page suivante https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_la_chèvre Deux problèmes y sont proposés et le deuxième correspond bien à l'énigme de Yoshi !

Bonne soirée

Wiwaxia

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Re : Un cercle a son centre placé sur la circonférence d'un 2e cercle...etc

Bonjour,

La variante que tu proposes est inédite, mais elle conduit en effet à la recherche d'une primitive rien moins qu'évidente ... bien qu'elle existe formellement. Toute la lourdeur des calculs se concentre en quelque sorte sur cette étape.

... Au fait, j'ai fini par farfouiller sur internet et j'ai trouvé la page suivante https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_la_chèvre Deux problèmes y sont proposés et le deuxième correspond bien à l'énigme de Yoshi ! ...

Les lien signalés sont tout à fait intéressants; les autres problèmes proposés paraissent encore plus difficiles.
Je ne me doutais pas que les décimales de la solution numérique constituaient une suite dûment répertoriée ... l'Encyclopédie en ligne des Suites entières est une véritable caverne aux trésors !

Bonne journée.