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Bernard-maths

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Un truc sur les nombres premiers ?

Bonjour à tous !

En souhaitant ses 73 ans à une copine, je me suis dit :

Théorème : il n'existe pas 2 nombres premiers consécutifs de différence égale à 5. Sauf ...?

Allez, à vos neurones !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-05-2023 08:09:39)

Glozi

Invité

Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Bonjour,
Merci pour l'énigme !

▼proposition

Puisque tous les nombres premiers excepté $2$ sont impairs. SI la différence entre deux nombre premiers est impaire ($5$ est impair), alors l'un des deux est $2$ ! Finalement il n'y a que $2$ et $7$ qui sont des nombres premiers avec la différence $7-2=5$, problème $2$ et $7$ ne sont pas consécutifs dans la liste ordonnée des nombres premiers. Du coup, je ne vois pas...

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Hum !

Il faut savoir être négatif dans certains cas ?

Bernard-maths

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Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Bonsoir !

En proposant cette "énigme", je me suis dit "avec les négatifs, il y a peut-être un truc en plus ?", d'où le SAUF rajouté !

Les négatifs premiers n'apportent rien de plus ... on en reste donc au résultat élémentaire du Théorème proposé.

Du coup Glozi a bien vu ! Je dirai aussi Parmiles nombres remiers, il y a 2 qui est pair, et tous les autres sont impairs ...

Si on prend un impair, l'autre à plus ou moins 5 est alors pair ! Donc théorème vérifié.
Si on prend 2, à plus 5 on a 7, qui ne sont pqs consécutifs ; et si prend 2 - 5 = -3, -3 et 2 ne sont pas non plus consécutifs.

Donc MON théorème génial est vrai !!!

Bernard-maths

Bernard-maths

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Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Re bonsoir à tous !

Les nombres premiers ne sont pas du tout dans mes préoccupations, mais je crois qu'il existe des nombres premiers "jumeaux" (?), c'est à dire des couples de nombres premiers différant de 2, et il y en aurait une infinité ! (?)

A ce petit jeu je suis tombé par hasard sur 3, 7 et 11, qui se suivent, et diffèrent de 4 et 4...

Existe-t-il une infinité de triplet de nombres premiers consécutifs différant de 4 et 4 ???

Là, vous voyez qu'il y a de quoi s'occuper !

Je cogite, et je compte sur vous ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-05-2023 18:06:29)

Glozi

Invité

Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Bonsoir,
Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux et la conjecture généralisée https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Polignac
Ce sont des problèmes très durs puisque très faciles à énoncer (un collégien dégourdi comprend l'énoncé) mais non résolus depuis plus d'un siècle !
Au passage ça me rappelle une autre conjecture :
On sait que $f(x) := \sum_{n\leq x}\frac{1}{n}$ diverge vers l'infini (lorsque $x\to \infty$), c'est la série harmonique.
Un fameux théorème de Mertens dit que $g(x) := \sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$ divergeégalement vers l'infini. Ici la somme est simplement sur les nombres premiers $p$ plus petit que $x$.
En fait le théorème de Mertens donne l'équivalence $g(x) \sim \ln(\ln(x))$ (et même un développement asymptotique plus précis en fait).
(notons qu'il est bien connu que $f(x)\sim \ln(x)$).

La conjecture est : $h(x) := \sum_{p\in \mathcal{J}, p\leq x}\frac{1}{p}$ diverge vers l'infini, où $\mathcal{J}$ désigne l'ensemble des nombre premiers jumeaux.

Bien sûr cette conjecture implique l'infinité de $\mathcal{J}$ et impliquerait surtout une certaine "densité" de ces nombres premiers jumeaux parmi les nombres premiers.

Amusant...

Sinon cette suite pourrait t'intéresser https://oeis.org/A001223 il s'agit de la suite $p_{n+1}-p_n$ où les $p_i$ sont les nombres premiers ordonnés.

PS: dans ton exemple $3,7,11$ ne sont pas consécutifs. (où est $5$). En fait on peut montrer qu'il n'y a aucun nombre $p$ tel que $p$, $p+4$ et $p+8$ soient trois nombres premiers consécutifs. (indice : regarder la divisibilité par $3$).

Bonne soirée

Bernard-maths

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Re : Un truc sur les nombres premiers ?

Bonsoir Glozi !

Merci de ta réponse rapide ... je m'attendais à un petit discours ...

J'avais déjà trouvé grâce à la divisibilité par 3 qu'il n'y avait pas d'autre triplet p, p+4, p+8. Quand je dis 3, 7, 11 en sautant le 5, c'est dans l'esprit +4, +4.

Bonne soirée

Dernière modification par Bernard-maths (05-05-2023 19:34:51)