Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux et la conjecture généralisée https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Polignac
Ce sont des problèmes très durs puisque très faciles à énoncer (un collégien dégourdi comprend l'énoncé) mais non résolus depuis plus d'un siècle !
Au passage ça me rappelle une autre conjecture :
On sait que $f(x) := \sum_{n\leq x}\frac{1}{n}$ diverge vers l'infini (lorsque $x\to \infty$), c'est la série harmonique.
Un fameux théorème de Mertens dit que $g(x) := \sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$ divergeégalement vers l'infini. Ici la somme est simplement sur les nombres premiers $p$ plus petit que $x$.
En fait le théorème de Mertens donne l'équivalence $g(x) \sim \ln(\ln(x))$ (et même un développement asymptotique plus précis en fait).
(notons qu'il est bien connu que $f(x)\sim \ln(x)$).

La conjecture est : $h(x) := \sum_{p\in \mathcal{J}, p\leq x}\frac{1}{p}$ diverge vers l'infini, où $\mathcal{J}$ désigne l'ensemble des nombre premiers jumeaux.

Bien sûr cette conjecture implique l'infinité de $\mathcal{J}$ et impliquerait surtout une certaine "densité" de ces nombres premiers jumeaux parmi les nombres premiers.

Amusant...

Sinon cette suite pourrait t'intéresser https://oeis.org/A001223 il s'agit de la suite $p_{n+1}-p_n$ où les $p_i$ sont les nombres premiers ordonnés.

PS: dans ton exemple $3,7,11$ ne sont pas consécutifs. (où est $5$). En fait on peut montrer qu'il n'y a aucun nombre $p$ tel que $p$, $p+4$ et $p+8$ soient trois nombres premiers consécutifs. (indice : regarder la divisibilité par $3$).

Bonne soirée

Bonsoir !

En proposant cette "énigme", je me suis dit "avec les négatifs, il y a peut-être un truc en plus ?", d'où le SAUF rajouté !

Les négatifs premiers n'apportent rien de plus ... on en reste donc au résultat élémentaire du Théorème proposé.

Du coup Glozi a bien vu ! Je dirai aussi Parmiles nombres remiers, il y a 2 qui est pair, et tous les autres sont impairs ...

Si on prend un impair, l'autre à plus ou moins 5 est alors pair ! Donc théorème vérifié.
Si on prend 2, à plus 5 on a 7, qui ne sont pqs consécutifs ; et si prend 2 - 5 = -3, -3 et 2 ne sont pas non plus consécutifs.

Donc MON théorème génial est vrai !!!

Bernard-maths

Bonjour,
Merci pour l'énigme !

Bonne journée