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Jimmy5125166

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Proba, fonctions génératices

Bonjour, au lieu d'utiliser le pd de cauchy comme la correction le propose, n'est-il pas plus simple d'utiliser le fait que Gx+y (t) = Gx(t)Gy(t) lorsque X et Y sont indépendants?

L'exo : https://www.bibmath.net/ressources/just … hp?id=2030

Merci.

Jimmy5125166

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Re : Proba, fonctions génératices

En fait ma question est quel l'intérêt d'utiliser le pd de Cauchy, outre une petite révision de celui-ci....

Glozi

Invité

Re : Proba, fonctions génératices

Bonjour,
Attention, les étapes sont les suivantes :
1. on dit que $X$ et $Y$ sont indépendantes donc $G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$.
2. on calcule $G_X(t)G_Y(t)$ (le corrigé fait ça avec le produit de Cauchy).
3. on reconnait la fonction génératrice d'une certaine loi de probabilité.

Lors de l'étape 2, le corrigé propose d'écrire $G_X(t) = \sum_{n=0}^\infty a_nt^n$, et $G_Y(t) = \sum_{n=0}^\infty b_nt^n$, avec $a_n = \mathbb{P}(X=n)$ et $b_n = \mathbb{P}(Y=n)$, puis faire le produit de Cauchy des deux sommes.

Sinon on peut aussi dire que si $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ alors $G_X(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda}(\lambda t)^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda t} = e^{\lambda (t-1)}$.
Ainsi $G_X(t)G_Y(t) = e^{(\lambda+\mu)(t-1)}$.
En fait, faire le produit de Cauchy revient à redémontrer que $e^{x+y}=e^xe^y$.

Bonne journée

Jimmy5125166

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Re : Proba, fonctions génératices

Super merci beaucoup!