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bridgslam

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une question intéressante sur "l'anatomie" des suites réelles

Bonjour,

une question que j'ai trouvé valable pour bien fixer les idées sur les suites, en tout cas rédiger proprement:
Une suite réelle vérifie la propriété P1 si le sup des images est un point de la suite, la propriété P2 si le inf des images est un point de la suite.

Montrer qu'une suite réelle convergente vérifie au moins P1 ou P2.

Bonne soirée
A.

Glozi

Invité

Re : une question intéressante sur "l'anatomie" des suites réelles

Bonjour,
C'est un exo sympa, généralement on préfère cependant dire "le sup est atteint", plutôt que "le sup est un point de la suite".

▼Une solution

Soit $(u_n)_n$ une suite réelle convergente, notons $\ell$ la limite.
1er cas : $(u_n)_n$ est constante égale à $\ell$. Alors clairement $P_1$ et $P_2$ sont vérifier car $u_0 = \ell = \inf\{u_n, n\in \mathbb{N}\}=\sup\{u_n, n\in\mathbb{N}\}$.
2eme cas : $(u_n)_n$ n'est pas constante égale à $\ell$. Alors il existe un $n_0$ tel que $u_{n_0}\neq \ell$.
Traitons le cas $u_{n_0}>\ell$. Alors considérons $\varepsilon = \frac{u_{n_0}-\ell}{2}>0$. Puisque $u_n \to \ell$, alors il existe un entier $N$, tel que pour $n\geq N$ on a $u_n\leq \ell+\varepsilon < u_{n_0}$ (en particulier $n_0 < N$).
Ainsi $\sup\{u_n, n\in \mathbb{N}\} = \sup\{u_n, n\leq N\} = \max\{u_n, n\leq N\}$  le sup est atteint (sup sur une partie finie) et P1 est vérifiée.
On traite de la même manière le cas $u_{n_0}<\ell$.

Comme question annexe on aurait pu demander une CNS pour qu'une suite convergente vérifie P1 ET P2. (la réponse est du type $(u_n-\ell)_n$ n'est pas de signe constant strictement positif ou strictement négatif).

Bonne journée

bridgslam

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Re : une question intéressante sur "l'anatomie" des suites réelles

Bonsoir,

Ce que j'avais fait:

▼une autre solution

P1 et P2 sont des propriétés symétriques quitte à changer $u_n$ en $- u_n$
Il suffit donc de le montrer dans le cas de sup.

Si le sup = S  n'est pas atteint, comme la suite converge, sa limite est précisément S.
Comme $u_0  < S , choisissons \; \epsilon > 0 \;\; tel \;\; que \;\; u_0  < S - \epsilon $
Pour tout  entier n à partir d'un certain N, $u_n >  S - \epsilon $.
L'ensemble des entiers n tels que $ u_n  < S - \epsilon $ est donc fini et non vide (0 est dedans).
Les images de ces entiers en nombre fini non nul ont donc un plus petit élément, qui minore bien toute la suite.
P2 est donc vérifiée.

Dernière modification par bridgslam (30-10-2022 10:38:14)