Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cédrix

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problème d'aire de triangle

Bonjour,
soit un triangle ABC avec a=BC=75,254 m
b= AC=67,739 m et c=AB=39,245 m.
Déterminer l'aire de ce triangle de 2 façons différentes.

J'ai pensé au théorème d'AL KASHI qui me permet de trouver cos(B) puis BA cos(B) = BH = 17,3729132 où H est le pied de la hauteur issue de A.
D'où AH = 35,19 dans le triangle rectangle AHB et ainsi l'aire de ABC = 1234,102583 m².
Est-ce correct ?
Je ne vois pas d'autre méthode.

Merci.
C.

Fred

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Re : problème d'aire de triangle

Bonjour,

  Je n'ai pas refait tes calculs mais en tout cas la démarche est correcte.
Une autre possibilité est d'utiliser la formule de Héron.

F.

Black Jack

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Re : problème d'aire de triangle

Bonjour,
soit un triangle ABC avec a=BC=75,254 m
b= AC=67,739 m et c=AB=39,245 m.
Déterminer l'aire de ce triangle de 2 façons différentes.

J'ai pensé au théorème d'AL KASHI qui me permet de trouver cos(B) puis BA cos(B) = BH = 17,3729132 où H est le pied de la hauteur issue de A.
D'où AH = 35,19 dans le triangle rectangle AHB et ainsi l'aire de ABC = 1234,102583 m².
Est-ce correct ?
Je ne vois pas d'autre méthode.

Merci.
C.

Bonjour,

Il me semble que tu as croisé 2 chiffres dans ta réponse.

Je penche pour : 1324,102583 m²

yoshi

Modo Ferox

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Re : problème d'aire de triangle

Ave,

Fred a raison, Heron est plus rapide (il vole !)...
Je te propose une 3e méthode, digne d'un bon élève de 3e
Avec AB = 39,245, AC = 67,239 et BC = 75,254, AH la hauteur relative à [BC].
Je note BH=x et CH=y, d'où
$x+y =75,254$ (1)
Maintenant, j'utilise le th de Pythagore

1. Dans le tr AHB.
   $ x^2+AH^2=39,245^2 =1540,170025$ (2)
2. Dans le tr AHC :
  $y^2+AH^2=67,239^2 = 4588,572121$ (3)
3. De (2) et (3), il vient :
  $y^2-x^2=4588,572121-1540,170025=$ (4)

Je résous (par substitution) le système de 2 équations à 2 inconnues (1) et (4) !
$\begin{cases}x+y&=75,254 \to y= 75.254-x\\y^2-x^2&=3048,402096\end{cases}$

D'où :
$(75,254-x)^2 -x^2 =5663,164516-150,508x+x^2-x^2 =3048,402096$
$150,508x = 5663,164516-3048,402096$
$150,508x=2614,76242$
et
$x=17,3729132...$

J'en déduis AH :
$AH=\sqrt{39,245^2-17,3729132^2}\approx 35.190225$
qui confirme la remarque de Black Jack...

@+

Cédrix

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Re : problème d'aire de triangle

Bonsoir,
merci beaucoup pour ces méthodes qui m'avaient échappé !!!
Oui, il s'agit bien de l'aire égale à 1324,102583 m².
Merci !
C.

yoshi

Modo Ferox

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Re : problème d'aire de triangle

B'soir,

La formule de Héron
$p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=91,119$ demi-périmètre
$\mathcal A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\mathcal A=\sqrt{91,119(91,119-75,254)(91,119-67,739)(91,119-39,245)}$
Soit :
$\mathcal A=\sqrt{91,119\times 15,865\times 23,38\times  51,874}=\sqrt{175324,6514814422}\approx 1324,1025834433835$

Résultat identique, mais bien plus rapide...

@+