Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yerbabuena

Membre

Inscription : 27-09-2021

Messages : 7

Problème de Jacobien dans un changement de variable

Bonjour, je fais une erreur de calcul dans un changement de variables dans une intégrale, je ne sais pas où.
On se donne [tex]\psi \in C^{\infty }(\mathbb R ^d) [/tex], on souhaite calculer  [tex]\int_{B(r)}^{}\psi(y)dy[/tex], où [tex] B(r)[/tex] désigne la boule de centre l'origine et de rayon r de Rd. Je souhaite faire le changement [tex] y = x + t \omega [/tex], avec [tex]\omega \in S^{d-1} [/tex], la sphère unité, et [tex] t \le 2r [/tex].
J'aimerais écrire [tex] \psi (y) [/tex] = [tex] \psi (f(t,\omega ) [/tex] avec [tex] (f(t,\omega ) = (y_1,...,y_{d-1},y_d)=(x_1+t\omega_1,...,x_{d-1}+t\omega_{d-1},x_d+t(1-\omega_1^{2}...-\omega_{d-1}^2)^{1/2}) [/tex],. Je note par la suite [tex] \omega_d = (1-\omega_1^{2}...-\omega_{d-1}^2)^{1/2}[/tex].  Le problème c'est que pour la dernière coordonnée je peux choisir + ou -, ce n'est pas bijectif... Pourtant tout point [tex] y \in B(r) [/tex] peut être décrit par [tex] x + t \omega [/tex], et réciproquement aussi, donc il doit bien y avoir un difféomorphisme.
Ensuite, si je calcule le Jacobien de ce truc (qui n'est pas un difféomorphisme me semble) je tombe sur [tex]\frac{t^{d-1}}{w_d} [/tex], mais il doit y avoir une erreur de calcul car dans mon exercice je dois tomber sur un truc plus petit ou égal à [tex] t^{d-1}[/tex].
La matrice jacobienne est celle-ci pour le calcul que j'ai effectué, mais à nouveau, c'est sans doute un mauvais changement de variable mais je ne vois pas quoi faire d'autre :
[tex] \begin{pmatrix}
t & 0 & . & . & . & 0 & \omega_1  \\
0& t & 0 & . & . &0 & \omega_2 \\
. & . & t & . & . & 0 & \omega_3 \\
.& . & . &  .&. & . \\
.& . & . &  .&t& .\\
.& . & . &  .& .& t\\
-t\omega_1&  -t\omega_2 & . & & . &  -t\omega_{d-1}\ & \omega_{d}\
\end{pmatrix} [/tex]
Merci d'avance pour votre aide, malgré ce dimanche électoral

Dernière modification par yerbabuena (10-04-2022 20:01:06)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Problème de Jacobien dans un changement de variable

Bonjour,

  Je ne suis pas sûr de tout comprendre : qui est ce $x$ alors que tu parles de la boule unité? Pourquoi vouloir $t\leq 2r$?
Qui est-ce $w_d$ dont tu parles à la fin?
A mon avis, tu devrais pour comprendre ce que tu fais commencer par le cas $d=2$, où j'ai l'impression que tu ne veux faire qu'un changement de variables en coordonnées polaires.

F.

yerbabuena

Membre

Inscription : 27-09-2021

Messages : 7

Re : Problème de Jacobien dans un changement de variable

Bonjour Fred, je voulais dire x un point quelconque de la boule. [tex] t \le 2r [/tex] car depuis tout point x de la boule, je veux être sûr d'atteindre mon point y par une translation de direction donnée un élément de la sphère unité, si y et x sont diamétralement opposés, au pire j'ai besoin d'un coefficient 2r pour atteindre y en partant de x.
J'ai l'impression que le même problème se pose en deux dimensions où,  si je prends un élément x de ma boule de rayon r, la deuxième coordonnée peut être [tex]x_2+t*(1-x_1)^{1/2} [/tex]  ou [tex]x_2-t*(1-x_1)^{1/2} [/tex] ... Je n'ai pas l'impression de faire un changement en coordonnées polaires cela dit ..?

yerbabuena

Membre

Inscription : 27-09-2021

Messages : 7

Re : Problème de Jacobien dans un changement de variable

J'ai dit ce qu'était w_d dans mon premier message, 7e ligne !