Forum de mathématiques - Bibm@th.net

haf0

Membre

Inscription : 11-01-2022

Messages : 6

décomposition de 1/((X^n) -1) en élèments simples

Bonjour à toutes et à tous,

Dans la correction j'ai trouvé cela :
" Les pôles de 1/(Xⁿ−1) sont les racines n-ièmes de l'unité, c'est-à-dire les complexes x_k=e^2ikπ/n, k=0,…,n−1. Chaque pôle est simple, la partie polaire correspondante est donc de la forme c_k/(X−x_k) avec c_k=1/P′(x_k)=1/n(x_k)^n-1 ... "

je veux comprendre pourquoi c_k=1/P′(x_k)

   Cordialement

Paco del Rey

Invité

Re : décomposition de 1/((X^n) -1) en élèments simples

Bonjour.

Tu écris $\dfrac{1}{P(x)} = \sum\limits_{p=0}^{n-1} \dfrac{c_p}{x-x_p}$, tu multiplies les deux membres par $x-x_k$ :

Paco.

(Un peu raide pour le collège/lycée, non ?)

Paco del Rey

Invité

Re : décomposition de 1/((X^n) -1) en élèments simples

Tu obtiens :

$\dfrac{x-x_k}{P(x)-P(x_k)} = \sum\limits_{p=0; p\neq k}^{n-1} \dfrac{c_p(x-x_k)}{x-x_p} + c_k$
puis tu fais tendre $x \to x_k$. Tu as $\lim\limits_{x\to x_k} \dfrac{P(x)-P(x_k)}{x-x_k} = P'(x_k) \neq 0$.

Paco.

haf0

Membre

Inscription : 11-01-2022

Messages : 6

Re : décomposition de 1/((X^n) -1) en élèments simples

aaah j'ai compris maintenant, et c'est grâce à vous Paco ..merci

(Vous avez raison, cela doit être posté dans la section d'entraide (supérieure ) .. mes excuses, je suis novice dans ce forum )