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Toni

Invité

Noyau d'un homomorphisme d'anneau.

Bonjour
Voilà un exercice , j'arrive pas à montrer la première question :
Soit f:Z[i✓7]-->Z/8Z définie par f(x+iy✓7)=cl(x+7y) avec cl(x+7y) est la classe de x+7y . Montrer que :
a)ker(f)=(1+i✓7) .
Qlq peut m'aider s'il vous plaît.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Noyau d'un homomorphisme d'anneau.

Bonjour,

  Je ne sais pas ce que tu veux dire par $(1+i\sqrt 7)$. Le sous-groupe engendré par $1+i\sqrt 7$.
Mais dans ce cas, c'est faux : par exemple, $9+i\sqrt 7$ est dans le noyau de $f$ sans être un multiple de $1+i\sqrt 7$....

F.

bridgslam

Membre Expert

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Messages : 1 913

Re : Noyau d'un homomorphisme d'anneau.

Bonjour,

Il s'agit de l'idéal principal I  engendré par [tex]1 + i\sqrt{7}[/tex].
Or le noyau K du morphisme d'anneau considéré étant formé par les éléments dont les "coordonnées" x et y sont dans la même classe modulo 8, tu peux montrer qu'il y a bien coïncidence entre les deux, le générateur (1,1) est dedans et il te reste à montrer que tout élément de K est  dans  I ,  par exemple la classe de 7 est -1 modulo 8 ce qui peut aider).

A priori je ne pense pas que cet anneau soit principal...

▼preuve rapide

le produit du générateur par l'élément de l'anneau $(x+7k) + i\sqrt{7}k$ est égal à $x + i\sqrt{7}(x+8k)$  pour tout k entier relatif,
autrement-dit on obtient bien tout le noyau en parcourant I.
La réciproque est claire, le noyau d'un morphisme d'anneau étant un idéal.

Pour x=9 et k= -1, on trouve   $2 - i\sqrt{7}$  dans la division de $9 + i \sqrt{7}$ par le générateur de I.

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-11-2021 14:18:07)