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DROUET Eric

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Paradoxes de Zénon et suite géométrique

Bonjour à tous

    Je travaille, en philosophe, sur les paradoxes de Zénon et je butte sur un problème dû au fait que je ne suis pas mathématicien. Il s'agit de la convergence de la suite 1/2, 1/4, 1/8, etc.
   Deux questions : cette suite converge vers 1 ou vers 2. J'ai lu, sur divers sites, les deux réponses !
                           Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration arithmétique complète de la solution ?
  Merci de votre aide
Eric Drouet

yoshi

Modo Ferox

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Re : Paradoxes de Zénon et suite géométrique

Bonjour,

Il s'agit de la convergence de la suite 1/2, 1/4, 1/8, etc.

S'il s'agit de la suite dont les termes successifs sont 1/2, 1/4, 1/8, 1/16
Soit la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$, telle que $a_n=\dfrac{1}{2^n}$, cette suite converge vers 0...

Tu veux peut-être parler de la somme des termes de cette suite :
$S=\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1  8 + \frac{1}{16} +\cdots+\frac{1}{2^n}$  lorsque n tend vers $+\infty$?
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1/2 et de raison 1/2 :
j'applique la définition (pour une démo simple - et une visuelle, cf schéma en faut à droite -), voir :
https://fr.wikipedia.org/wiki/1/2_%2B_1 … _%E2%8B%AF)
$S=\dfrac 1 2 \times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^n}}{1-\dfrac 1 2}=1-\dfrac{1}{2^n}$
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $2^n$ tend vers $+\infty$  et donc $\dfrac{1}{2^n}$ tend vers 0 et donc S tend vers 1

Si la somme est :
$S=$$1$$+\frac 1 2+\frac 1 2+ \frac 1 4 + \frac 1  8 + \frac{1}{16} +\cdots+\frac{1}{2^n}$
alors S tend vers 2.

Pour approfondir ces paradoxes, le point de vue de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public) :
https://www.apmep.fr/Achille-ne-rattrapera-jamais-la

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