Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Sonk

Invité

Compacité

Bonsoir besoin d'aide

K et X deux sous ensembles non vides de Rn.

1) Montrer que K est compact ssi quelque soit Fi une famille de fermés de K telque l'intersection est vide, il existe un J € I une partie finie de I telque l'intersection des Fj est vide.

2) K un compact, f: K--->X une fonction continue.
Montrer que f(K) est continue.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Compacité

Bonjour,

Qu'avez-vous essayé ? Le principe du forum est d'aider sans tout faire, mettre sur la voie, donner des idées, pas de faire l'exercice ou le problème de bout en bout à vôtre place...

1)K est un espace topologique séparé comme sous-espace de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] qui est séparé.
  Ensuite on peut démontrer un sens de l'implication   en se donnant une famille d'ouverts de K dont la réunion est K, que peut-on en déduire
si la propriété indiquée est vraie ( on utilise la complémentarité deux fois, une fois pour obtenir des fermés, une autre pour revenir aux ouverts )?
Réciproquement si on se donne une  famille quelconque de fermés de K d'intersection vide, si K vérifie la propriété des ouverts ( car compact)
on montre par complémentarité ( 2 fois de suite) qu'une sous-famille finie des fermés est aussi d'intersection vide.

2) Il doit y avoir une erreur d' énoncé. Je dirais plutôt f(K) est compact. On utilise alors la question précédente pour f(K).

Alain