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Aroek

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Exercice de calcul différentiel

Bonjour !

Tout d'abord désolé pour la mise en forme :(

J'ai un exercice de calcul diff que je ne comprends pas très bien.

Enoncé:

[tex](E)\:   \frac{\delta f}{\delta x} +2x\frac{\delta f}{\delta y}=0[/tex]

Soit l'application:    [tex]\phi : ((x,y) --> (u,v)=(x,y-x^2)[/tex]

Soit f une solution de (E). On note[tex] f(x,y)=g(u,v)=go\phi(x,y)[/tex] .

Je dois calculer les dérivées partielles en fonction de f.

Ici j'hésite entre deux réponses:  1:  [tex]\frac{\delta g}{\delta u} = \frac{\delta f}{\delta x}-2x\frac{\delta f}{\delta y}[/tex]
                                                      [tex]\frac{\delta g}{\delta v} = 0+\frac{\delta f}{\delta y}[/tex]

ou bien la même chose pour en interchangeant les u,v avec x,y

Ensuite je dois en déduire qu'alors g vérifie une équation aux dérivées partielles élémentaire que l'on résoudra, puis en déduire toutes les solutions de (E).
Je bloque ici, pourriez-vous d'abord m'indiquer si ma première réponse est bonne, et puis si possible m'apporter quelques éléments de réponse :) merci beaucoup !

Fred

Administrateur

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Re : Exercice de calcul différentiel

Bonjour,

  Bizarre la façon dont l'exercice est formulé, ou du moins la façon dont tu le formules.
Ce qui est facile de faire ici, c'est d'exprimer les dérivées partielles de $f$ en fonction de celles de $g$.
En effet, tu as $f(x,y)=g(x,y-x^2)$ et donc par exemple :
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}-2x\frac{\partial g}{\partial v}.$$
En faisant la même chose pour la dérivée partielle par rapport à $y$, puis en remplaçant dans l'équation, on trouve effectivement une équation aux dérivées partielles très simple satisfaite par $g$.

F.