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farouha1012

Invité

exercice 15 sur les irrationnels

Bonjour,
L'exercice sur lequel je bloque est un exercice disponible sur bibmaths, meme avec la correction j'ai du mal a comprendre le raisonnement suvi. Il s'agit de l'exercice 15 dans la feuille d'exos " nombres reels'. voici le lien ci-joint
http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

Je ne comprends pas comment on a utilise des quantites conjuguees pour prouver que des nombres sont irrationnels, je ne comprends pas la demarche et j'aurais besoin d'une correction plus detaillee.

merci d'avance

Fred

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Messages : 7 352

Re : exercice 15 sur les irrationnels

Bonsoir,

  On effectue un raisonnement par l'absurde.

L'hypothèse est : $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels, $x$ et $y$ sont des rationnels (positifs)

Hypothèse faite : $\sqrt x+\sqrt y$ est rationnel.

Raisonnement, étape 1 : $\sqrt x-\sqrt y$ est aussi rationnel (en raison de l'égalité donnée dans l'énoncé).

Raisonnement, étape 2 : $2\sqrt x$ est alors rationnel comme somme de deux rationnels.

Raisonnement, étape 3 : $\sqrt x$ est rationnel

Contradiction : On ne peut pas avoir à la fois $\sqrt x$ rationnel et $\sqrt x$ irrationnel.

Conclusion : L'hypothèse faite est fausse et donc $\sqrt x+\sqrt y$ est irrationnel.

F.