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balzac

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Messages : 3

asymptotique d une suite

bonjour a tous
j ai un probleme que je n arrive pas a resoudre
soit la suite definie comme suit
Xn+1=sin(Xn)

j ai montrer qu elle est decroissante et tend vers 0

ensuite on me demande de trouver g>0 tel que
(1/(Xn+1)^g)-(1/(Xn)^g) converge vers une limite finie non nulle...
je ne vois pas comment procéder...

le but etant de trouver un equivalent de Xn en l infini

pouvez vous m aider svp

Dernière modification par balzac (31-08-2019 14:52:03)

Maenwe

Invité

Re : asymptotique d une suite

Bonjour,

Tout d'abord votre suite est mal définie, qu'est donc $X_{0}$ ?

On a $X_{1} = sin(X_{0}) \in [0; 1]$. Si $X_{0} \notin [0; 1]$ on pose $Y_{n}=X_{n+1}$ et alors $Y_{n+1} = sin(Y_{n})$
et $Y_{0} \in [0; 1]$. Donc dans tous les cas on peut se ramener au cas où $X_{0} \in [0; 1]$.
Or sur $\mathbb{R}^{+}$ on a $x \geq sin(x) $, donc $X_{n} \geq X_{n+1}$.
Et à partir de là je pense que tu pourras conclure tout seul pour ta première question (si non n'hésite pas à demander).

Ensuite pour la deuxième, il y a 2 manières de faire, la 1ère qui est "à l'aveugle", c'est à dire que tu essayes différentes valeurs pour g.
Ou alors tu poursuis ces calculs :
$\dfrac{1}{sin(X_{n})^{g}} - \dfrac{1}{X_{n}^{g}} = \dfrac{X_{n}^{g} - sin(X_{n})^{g}}{X_{n}^{g}sin(X_{n})^{g}}$
On va juste s'intéresser au numérateur : $X_{n}^{g} - sin(X_{n})^{g}$.
Tu peux commencer par écrire un développement limité du sinus à l'ordre 3, puis factoriser par la plus grande puissance de $X_{n}$ ton développement limité, et faire un autre développement limité judicieux.

Cordialement

Maenwe

Invité

Re : asymptotique d une suite

On a $X_{1} = sin(X_{0}) \in [0; 1]$.

Cette affirmation est fausse, c'est plutôt : $X_{1} = sin(X_{0}) \in [-1; 1]$
Une petite récurrence nous permet de montrer : $X_{0} < 0 \implies \forall n, X_{n}<0$ et $X_{0} > 0 \implies \forall n, X_{n}>0$.
Si $X_{0}<0$ en posant $Y_{n} = - X_{n}$ on se ramène au deuxième cas.
Au passage, si $X_{0}<0$ la suite $(X_{n})$ est croissante... Donc à mon avis il manque une donnée de ton énoncé ou il manque une donnée dans l'énoncé, qui est : $X_{0}>0$.

balzac

Membre

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Re : asymptotique d une suite

oui effectivement X0=1 c est une omission de ma part dsl

merci beaucoup Maenwe pour toutes ces indications

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : asymptotique d une suite

Bonjour,
@Maewe :l'idée du DL, entre autre, paraît judicieuse.. et il manquait en effet la donnée initiale [tex]X_0[/tex]
Mais pour le reste je me permets de rectifier :

Une petite récurrence nous permet de montrer :  $X_{0} > 0 \implies \forall n, X_{n}>0$.

Est ce que ça ne serait pas plutôt : [tex]\forall p \in \mathbb Z[/tex];  $X_{0} \in ]2p\pi;(2p+1)\pi[  \implies \forall n, X_{n}>0$ ?

Il se trouve que dans le cadre de l'exercice : [tex]X_0=1[/tex] est dans [tex]]0;\pi[[/tex] et on est dans l'implication précédente avec [tex]p=0[/tex], d'où [tex]\forall n, X_{n}>0[/tex]..
Sinon en effet sur $\mathbb{R}^{+}$ on a $x \geq sin(x) $, donc $X_{n} \geq X_{n+1}$, comme écrit justement sur votre post #2. Précision pour notre ami balzac : la décroissance de la suite est toutefois insuffisante pour conclure à sa convergence vers 0..

Sans vouloir trop insister, mais ...l'implication

$X_{0} < 0 \implies \forall n , X_{n}<0$

est fausse pour le même genre de raison...
Contre exemple : [tex]X_0=-3\pi/2 \implies \forall n \in\mathbb{N^*}, X_{n}>0[/tex], et la suite est.... décroissante à partir du rang 1

Cordialement

Dernière modification par Zebulor (04-09-2019 17:10:24)

Maenwe

Invité

Re : asymptotique d une suite

Bonsoir,

Oui tu as raison ! La faute à une mauvaise relecture et peut-être de la fatigue sur le moment. Merci de ces corrections. (J'ai dû mal à comprendre comment j'ai pu faire cette faute là au passage ^^)
Quant au développement limité, je l'avais effectué en détail (et non de tête contrairement au raisonnement précédent) donc normalement le développement limité fonctionne sans trop de problème.

Cordialement

Zebulor

Membre expert

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Messages : 2 225

Re : asymptotique d une suite

Bonsoir,
@Maenwe : je t'en prie. Je crois qu'on est tous susceptibles, moi le premier, de faire ce genre de fautes..
A bientôt