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J'ai trouvé un graphe, Merci..J'ai trouvé un K2,4

OK Merci beaucoup... Je ne me suis pas barré Mr Freddy

Une base est une famille libre et génératrice.
J'ai posé soit [tex]G[/tex] l'ensemble des endomorphismes commutant avec [tex]f[/tex]
soit [tex]g\in G[/tex], On a alors [tex]f°g=g°f[/tex].( lire [tex]f [/tex] rond [tex]g[/tex])
Mon problème est comment partir d'ici pour montrer que G est un sous-espace vectoriel de base  [tex](id,f,f^2)[/tex].
Merci.

Bonjour, définir cet ensemble fini de générateurs pour nous permettre de te comprendre .

Bonjour, Je veux montrer aussi que [tex]rg(f)< n -1[/tex]
J'ai fait ceci :
f étant un endomorphisme de [tex]E[/tex] alors [tex]rg(f)\leq n [/tex]. On aura à montrer que [tex]rg(f)\neq n[/tex]
Je suppose que [tex]rg(f)=n [/tex] alors [tex]Im(f)=E[/tex] ainsi [tex]f [/tex] est surjective par suite [tex]f [/tex] est bijective puisque f est un endomorphisme en dimension finie.Il s'en suit que quelque soit [tex]p\in N[/tex], [tex]f^p[/tex] est bijective comme composition d'applications bijectives. Or [tex]f [/tex] est nilpotent d'indice [tex]p[/tex] donc il existe [tex]p \in N [/tex] tel que [tex]f^p=0[/tex] alors [tex]f^p[/tex] est non bijective ce qui contredit l'affirmation précédente donc [tex]rg(f)\neq n[/tex] d'où [tex]rg(f)<n-1[/tex].
J'aimerais demander es ce que ma preuve est correcte et s'il y a autre façon plus courte de faire cette démonstration.

OK...Mon problème est à ce niveau ..
Je peux montrer que [tex]( f(x),.........f^{p-1}(x))[/tex] est une famille libre . Mais je n'arrive pas à montrer que  c'est une famille libre de [tex]Im(f)[/tex] puisque je ne connais pas les éléments de [tex]Im(f)[/tex]
Aidez moi s'il vous plaît.

Merci beaucoup, c'est exactement ce qu'il faut faire !

Je ne connais pas ça .

Bonjour, c'est exactement ce qu'il faut faire. Merci beaucoup.

Supposons que [tex]A[/tex] est un anneau commutatif unitaire dont tous les idéaux sont premiers.
soit [tex]a,b \in A[/tex] tel que [tex]a.b=0[/tex] alors [tex]a.b \in (0)[/tex] donc [tex]a\in(0)[/tex] ou [tex]b\in (0)[/tex] (puisque [tex](0)[/tex] est premier). Par suite [tex]a= 0[/tex] ou [tex]b= 0[/tex] donc [tex]A[/tex] n'admet pas de diviseur de zéro : [tex]A[/tex] est intègre.
soit [tex]a\in A/[/tex]{0}
[tex]a.a \in (a^2)[/tex] donc [tex]a\in(a^2)[/tex](puisque tout idéal de [tex]A[/tex] est premier),il existe [tex]b\in A/[/tex]{0} tel que [tex]a=a^2.b[/tex] on a [tex]a(1_A-a.b)=0[/tex] donc [tex]1_A-a.b=0[/tex](puisque [tex]A[/tex] est intègre).Par suite [tex]a.b=1_A[/tex] alors [tex]a[/tex] est inversible.D'ou [tex]A[/tex] est un corps.

Supposons que [tex]p[/tex] est premier et montrons que [tex]p\mathbb{Z} [/tex] est un idéal premier de [tex]\mathbb{Z}[/tex]
[tex]1\notin[/tex] [tex]p\mathbb{Z}[/tex] (car p premier) donc [tex]p\mathbb{Z}[/tex] [tex]\neq[/tex] [tex]\mathbb{Z}[/tex]
Soit [tex]a[/tex] et [tex] b \in \mathbb{Z}[/tex] telque [tex]ab \in p\mathbb{Z}[/tex]
[tex]ab \in p\mathbb{Z}[/tex] [tex]\Longrightarrow p/ab [/tex]
           [tex]\Longrightarrow p/a[/tex] ou [tex]p/b[/tex]
           [tex]\Longrightarrow a\in p\mathbb{Z} [/tex] ou [tex]b \in p\mathbb{Z}[/tex]

D'ou [tex]p\mathbb{Z}[/tex] est un idéal premier de [tex]\mathbb{Z}[/tex].

C'est la réellement mon problème. On sait déjà que les idéaux de [tex]\mathbb{Z}[/tex] sont les [tex]p\mathbb{Z}[/tex]. Comment montrer qu'ils sont des idéaux premiers si [tex]p[/tex] est premier.

Rappel :
Soit [tex]A[/tex] un anneau et [tex]I[/tex]un idéal de [tex]A[/tex].
[tex]I[/tex]est un idéal premier de [tex]A[/tex][tex]\Longleftrightarrow[/tex] pour tout [tex]x , y \in A [/tex], [tex] x.y \in I [/tex] [tex]\Longrightarrow[/tex] [tex]x \in I [/tex] ou [tex]y \in I[/tex]