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ade

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Idéaux premiers de Z

Bonjour .
S'il vous plaît, Aidez moi à montrer que les idéaux premiers de [tex]\mathbb{Z}[/tex] sont [tex](0)[/tex] ou les [tex]p\mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]p[/tex] premier.

Fred

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Re : Idéaux premiers de Z

Bonjour

  Deux choses à faire  : si p est premier alors pZ est un idéal premier. Si n=ab est non premier alors nZ n'est pas premier. Que sais-tu faire sur les deux ?

F

ade

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Re : Idéaux premiers de Z

C'est la réellement mon problème. On sait déjà que les idéaux de [tex]\mathbb{Z}[/tex] sont les [tex]p\mathbb{Z}[/tex]. Comment montrer qu'ils sont des idéaux premiers si [tex]p[/tex] est premier.

Rappel :
Soit [tex]A[/tex] un anneau et [tex]I[/tex]un idéal de [tex]A[/tex].
[tex]I[/tex]est un idéal premier de [tex]A[/tex][tex]\Longleftrightarrow[/tex] pour tout [tex]x , y \in A [/tex], [tex] x.y \in I [/tex] [tex]\Longrightarrow[/tex] [tex]x \in I [/tex] ou [tex]y \in I[/tex]

Dernière modification par ade (21-10-2018 10:12:51)

Fred

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Re : Idéaux premiers de Z

Vas y commence et dis nous où tu bloques...

ade

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Re : Idéaux premiers de Z

Bonjour Monsieur Fred, Je continue de chercher. Je reviendrai sur la démonstration.

Michel Coste

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Re : Idéaux premiers de Z

@ ade : tu oublies quelque chose dans ta définition d'idéal premier : [tex]1\not \in I[/tex], ou autrement dit [tex]I\neq A[/tex].

ade

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Re : Idéaux premiers de Z

Supposons que [tex]p[/tex] est premier et montrons que [tex]p\mathbb{Z} [/tex] est un idéal premier de [tex]\mathbb{Z}[/tex]
[tex]1\notin[/tex] [tex]p\mathbb{Z}[/tex] (car p premier) donc [tex]p\mathbb{Z}[/tex] [tex]\neq[/tex] [tex]\mathbb{Z}[/tex]
Soit [tex]a[/tex] et [tex] b \in \mathbb{Z}[/tex] telque [tex]ab \in p\mathbb{Z}[/tex]
[tex]ab \in p\mathbb{Z}[/tex] [tex]\Longrightarrow p/ab [/tex]
           [tex]\Longrightarrow p/a[/tex] ou [tex]p/b[/tex]
           [tex]\Longrightarrow a\in p\mathbb{Z} [/tex] ou [tex]b \in p\mathbb{Z}[/tex]

D'ou [tex]p\mathbb{Z}[/tex] est un idéal premier de [tex]\mathbb{Z}[/tex].

Fred

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Re : Idéaux premiers de Z

Très bien. Il te reste à démontrer que si $I$ est un idéal premier, alors $I=p\mathbb Z$ pour un certain premier $p$.
Sachant que les idéaux de $\mathbb Z$ sont les $n\mathbb Z$, il est plus facile de raisonner par contraposée et de démontrer que
si $I=n\mathbb Z$ avec $n$ qui n'est pas premier, alors $I$ n'est pas un idéal premier.

F.