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ade

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Idéaux premiers et Corps

Bonsoir. Je n'arrive pas à comprendre la solution de cet exercice, aidez moi s'il vous plait .

Soit [tex]A[/tex] un anneau commutatif.
Montrer que si tous les idéaux de [tex]A[/tex] sont premiers alors [tex]A[/tex] est un corps.

Rappel: Un corps est un anneau unitaire dont tout élément non nul est inversible.

Soit  [tex]a\in A/[/tex]{0} on a [tex]a.a\in(a^2)[/tex] donc [tex]a\in(a^2)[/tex](car tout idéal est premier) par suite [tex]a^2[/tex] divise [tex]a[/tex] alors [tex]a[/tex] est inversible d'où [tex]A[/tex] est un corps.
Première difficulté: comment montrer que [tex]A[/tex] est unitaire
Deuxième difficulté : le fait que [tex]a^2[/tex] divise [tex]a[/tex] suffît-il pour dire que [tex]a[/tex] est inversible?

Fred

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Re : Idéaux premiers et Corps

Bonjour

  A mon avis on fait l' hypothèse que l'anneau est unitaire. Il faut d'abord démontrer qu'il est intègre. Si c'est le cas pour ta dernière question tu écris  $ a=ba^2\implies a(1_A-ba)=0 $ et tu conclus si a est non nul que b est l'inverse de a.

F.

ade

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Re : Idéaux premiers et Corps

Bonjour, c'est exactement ce qu'il faut faire. Merci beaucoup.

Supposons que [tex]A[/tex] est un anneau commutatif unitaire dont tous les idéaux sont premiers.
soit [tex]a,b \in A[/tex] tel que [tex]a.b=0[/tex] alors [tex]a.b \in (0)[/tex] donc [tex]a\in(0)[/tex] ou [tex]b\in (0)[/tex] (puisque [tex](0)[/tex] est premier). Par suite [tex]a= 0[/tex] ou [tex]b= 0[/tex] donc [tex]A[/tex] n'admet pas de diviseur de zéro : [tex]A[/tex] est intègre.
soit [tex]a\in A/[/tex]{0}
[tex]a.a \in (a^2)[/tex] donc [tex]a\in(a^2)[/tex](puisque tout idéal de [tex]A[/tex] est premier),il existe [tex]b\in A/[/tex]{0} tel que [tex]a=a^2.b[/tex] on a [tex]a(1_A-a.b)=0[/tex] donc [tex]1_A-a.b=0[/tex](puisque [tex]A[/tex] est intègre).Par suite [tex]a.b=1_A[/tex] alors [tex]a[/tex] est inversible.D'ou [tex]A[/tex] est un corps.

Dernière modification par ade (30-10-2018 22:04:51)