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#176 Re : Entraide (supérieur) » convergence dan D' » 16-11-2016 13:32:54
Oui pardon, c'est corrigé.
#177 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 16-11-2016 12:12:21
oui Yassine, ca je l'ai compris. Mais ma question est: comment obtenir le support de [tex]\sin(nx)?[/tex] qui est l'adhérence des points où [tex]\sin(nx)[/tex] ne s'annulle pas?
#178 Entraide (supérieur) » convergence dan D' » 16-11-2016 12:09:17
- tina
- Réponses : 21
Bonjour,
Comment calculer dans [tex]D'[/tex] la limite de [tex]\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex] où [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})?[/tex]
Voici ce que j'ai essayé:
Puisque [tex]\eta_n \in L^1_{loc}[/tex], elle définie une distribution: [tex]T_{\eta_n}[/tex] définie par:
[tex]
\forall \psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle T, \psi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \eta_n(x) \psi(x) dx
=
\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(nx) \psi(x) dx
=
\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{K} \varphi(nx) \psi(x)dx,
[/tex]
où [tex]K[/tex] est un compact qui contient le support de [tex]\varphi[/tex] (ou le support de [tex]\psi[/tex], je ne sais pas bien).
Ma question est: comment calculer
[tex]\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{K} \varphi(nx) \psi(x)dx?[/tex]
#179 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 16-11-2016 11:25:13
Bonjour,
pourquoi la suite
[tex]f_n(x)= \sin(nx)[/tex] n'est pas une fonction test? Quel est son support? S'il vous plaît.
Merci par avance.
#180 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D » 16-11-2016 11:17:45
À mon vis on n'a pas besoin de distinguer les deux cas selon $x=0$ ou pas. Non?
#181 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D » 15-11-2016 20:33:47
Pardon, je ne comprend pas bien. On a vu que ca converge simplement pour [tex]x \neq 0[/tex], mais pourquoi ça ne converge pas uniformément?
#182 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D » 15-11-2016 19:44:31
olàlà, je ne suis pas du tout cncentrée moi aujourd'hui. C'est vrai vous avez tout à fait raison. Toutes mes excuses.
Mais alors, qu'est ce qu'on peut conclure à propos de la convergence de [tex](\eta_n)[/tex]?
Je vous remercie pour votre aide.
#183 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D' » 15-11-2016 18:48:19
C'est compris! Merci beaucoup
#184 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D » 15-11-2016 18:46:07
pour [tex]x[/tex] fixé, on a
[tex]\lim_{n \to +\infty} [n \varphi'' (nx)]= +\infty[/tex], ca ne peut pas converger.
#185 Re : Entraide (supérieur) » convergence dans D » 15-11-2016 16:32:11
Pouvez vous me montrer ce raisonnement une fois, afin que je puisse le reproduire sur d'autres exemple. S'il vous plaît.
#186 Entraide (supérieur) » convergence dans D » 15-11-2016 15:03:08
- tina
- Réponses : 10
Bonjour,
j'ai la suite suivante
[tex]
\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), n \geq 1
[/tex]
La question est d'étudier la convergence de [tex]\eta_n[/tex] dans [tex]\mathcal{D}[/tex].
Voici ce que j'ai fait:
on commence par étudier la convergence simple de
[tex]\eta_n[/tex].
Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] fixé. On a:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)= \lim_{n \to +\infty} [\dfrac{1}{n} \varphi(nx)]= 0.[/tex]
Donc si cette suite converge dans D, ça sera vers la limite simple [tex]\eta=0.[/tex]
On note
[tex]Supp \varphi=K[/tex]
On a
[tex]Supp \eta_n = \dfrac{1}{n} K.[/tex]
Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}.[/tex] On a:
[tex]
sup_{x \in K} |D^{\alpha} \eta_n(x)| = sup_{x \in K} |\dfrac{1}{n} D^\alpha \varphi(nx)|
[/tex]
vers quoi ça converge? et comment savoir si ça converge? S'il vous plaît.
#187 Entraide (supérieur) » convergence dans D' » 15-11-2016 12:20:40
- tina
- Réponses : 2
Bonjour,
j'ai le théorème suivant:
Soit
[tex]f_j \in L_{loc}(\mathbb{R}^n)[/tex] telle que
[tex]Supp f_j \subset B(0,\epsilon_j)[/tex] avec [tex]\epsilon_j \to 0.[/tex]
[tex]\forall j: \displaystyle\int_{\mathbb{R^n}} f_j(x) dx = 1[/tex]
[tex]\forall j: f_j \geq 0[/tex].
Alors [tex]f_j \to \delta [/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)[/tex]
Ma question est: pourquoi est-ce que la condition
[tex]\forall j: f_j \geq 0[/tex]
est nécessaire dans ce théorème?
Je vpous remercie par avance.
#188 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 13-11-2016 20:33:14
C'est compris.Merci beaucoup
#189 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 13-11-2016 18:45:53
Ah ben oui, je suis bête. Si [tex]\chi(0)=0[/tex] alors [tex]\chi'(0)=0[/tex], pardon je ne sais vraiment pas ce qui m'a pris.
Par contre pour trouver la fonction [tex]f_n[/tex] ce n'est pas du tout évident pour moi. Il y a un truc pour la trouver facilement?
#190 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 13-11-2016 17:36:41
Je n'arrive pas comment obtenir une suite [tex]f_n[/tex] telle que [tex]f'_n(0)=n.[/tex]
Pour le reste, il est clait que [tex]\chi(0)=1[/tex] vue que [tex]0 \in [-1,1][/tex], par contre il n'est pas clair que [tex]\chi'(0)=0.[/tex]
Merci pour votre aide.
#191 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 13-11-2016 09:28:15
Bonjour,
en fait, je ne comprend pas comment choisir une suite de fonctions plataux pour montrer que la distribution
[tex]
\langle T,\varphi \rangle = \varphi'(0)
[/tex]
n'est pas d'ordre 0. C'est surtout la dérivée qui me perturbe, en plus une suite de fonctions plataux vaut 1sur un compact, je ne sais pas à quoi ca va servir pour le passage à la limite. Je suis un peu perdu. Merci de m'aider s'il vous plaît.
#192 Re : Entraide (supérieur) » valeur principal » 11-11-2016 21:36:38
S'il vous plaît, à la fin comment on a l'égalité
[tex]
\displaystyle\int_{\epsilon}^R [\psi(x) + \psi(-x)] dx = \displaystyle\int_{-R}^R \psi(x) + \displaystyle\int_{\epsilon}^R \psi(x) dx
[/tex]
?
Et quel est l'interêt?
#193 Re : Entraide (supérieur) » valeur principal » 11-11-2016 19:43:28
oups, ça s'emmêle encore un peu plus. Alors d'où vient l'expression de [tex]\psi[/tex]?
#194 Re : Entraide (supérieur) » valeur principal » 11-11-2016 19:02:36
No, au départ on a seulement [tex]\dfrac{\varphi(x)}{x}[/tex] sans le [tex]\varphi(0)[/tex]. Non?
#195 Re : Entraide (supérieur) » valeur principal » 11-11-2016 17:48:14
Mais d'où nous peut venir l'idée de choisir une telle fonction [tex]\psi?[/tex] S'il vous plaît.
#196 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 11-11-2016 17:12:12
d'accord, j'ai colpris qu'on cherche une fonction [tex]\varphi_c[/tex] pour chaque [tex]c \in \mathbb{R}[/tex], ce qui nous conduit à chercher une famille [tex](\varphi_c)_{c \in \mathbb{R}}.[/tex]
La question qui reste est: pourquoi il suffit de montrer pour [tex]C \in \mathbb{N}[/tex] au lieu de tout [tex]\mathbb{R}[/tex]? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
#197 Entraide (supérieur) » valeur principal » 11-11-2016 13:55:56
- tina
- Réponses : 10
Bonjour,
la valeur principar [tex]vp \dfrac{1}{x}[/tex] est donnée par
[tex]
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle
=
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
[/tex]
Pour montrer que c'est bien une distribution, on commence par montrer qu'elle est bien définie, ce qui revient à montrer que la limite
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
[/tex]
existe.
Je lis que pour ça, on fait intervenir une nouvelle fonction
[tex]
\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dx
[/tex]
et à la fin on écrit que
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\displaystyle\int_{-R}^R \psi(x) dx,
[/tex]
où [-R,R] contient le support de [tex]\varphi.[/tex]
Je ne comprend pas dutout ce choix de la fonction [tex]\psi[/tex], ni comment on a l'idée de faire un tel choix pour montrer l'existence de la limite.
Merci de m'aider s'il vous plaît.
#198 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 10-11-2016 23:10:07
Oui, pour chaque constante [tex]C[/tex] il faut trouver un compacte [tex]K[/tex] et une fonction test [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K[/tex].
Mais je ne comprend pas en qui ça implique de trouver une suite de fonction une pour chaque C. Puisque dans le raisonnement, on dit soit une constante C, donc il suffit de trouver une fonction test, pas besoin de le faire pour tous les C, en plus il y a un nombre infini de C. Non? Je ne comprend pas cette implication.
Merci par avance pour votre aide.
#199 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 10-11-2016 20:26:39
mais pourquoi il faut utiliser une suite pour montrer que l'ordre n'est pas 0? Pourquoi pas utiliser une simple fonction test?
#200 Re : Entraide (supérieur) » ordre d'une distribution » 10-11-2016 16:32:40
et comment choisir la fonction plateau qui va servir de contre exemple? S'il vous plaît