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tina

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valeur principal

Bonjour,
la valeur principar [tex]vp \dfrac{1}{x}[/tex] est donnée par
[tex]
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x},\varphi \rangle
=
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
[/tex]
Pour montrer que c'est bien une distribution, on commence par montrer qu'elle est bien définie, ce qui revient à montrer que la limite
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
[/tex]
existe.

Je lis que pour ça, on fait intervenir une nouvelle fonction
[tex]
\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dx
[/tex]
et à la fin on écrit que
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\displaystyle\int_{-R}^R \psi(x) dx,
[/tex]
où [-R,R] contient le support de [tex]\varphi.[/tex]

Je ne comprend pas dutout ce choix de la fonction [tex]\psi[/tex], ni comment on a l'idée de faire un tel choix pour  montrer l'existence de la limite.
Merci de m'aider s'il vous plaît.

Yassine

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Re : valeur principal

Re,
J'imagine qu'il s'agit de $\displaystyle \psi(t)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dx$ et non $\displaystyle \psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dx$

Si on développe l'expression de $\psi(t)$ (en faisant le changement de variable $y=tx$) ça donne $\displaystyle \psi(t)= \displaystyle \frac{1}{t}\int_0^t \varphi'(y) dy$, soit $\displaystyle \psi(t)=\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}$.

Revenons à la valeur principale, en supposant que $supp(\varphi) \subset [-R,R]$, on a
$\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \int_{-R}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx + \int_{\epsilon}^{R} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx =\int_{\epsilon}^{R}  \dfrac{\varphi(x)}{x} dx - \int_{\epsilon}^{R} \dfrac{\varphi(-x)}{x} dx=\int_{\epsilon}^{R}  \dfrac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x} dx$.
On peut maintenant écrire le terme $\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)}{-x}$ sous la forme :
$\dfrac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x} = \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} - \dfrac{\varphi(-x)-\varphi(0)}{x}$
(pourquoi ? parce que le ratio $\dfrac{\varphi(x)}{x}$ suggère une dérivée en $0$), soit, en utilisant l'expression de $\psi$ donnée plus haut :
$\dfrac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x} = \psi(x)+\psi(-x)$

On a donc obtenu que $\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \int_{\epsilon}^{R} \left[\psi(x)+\psi(-x)\right] dx$, soit encore
$\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \int_{-R}^R \psi(x) dx - \int_{-\epsilon}^\epsilon \psi(x)dx$.

D'où la limite annoncée.

Dernière modification par Yassine (11-11-2016 18:01:04)

tina

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Re : valeur principal

Mais d'où nous peut venir l'idée de choisir une telle fonction [tex]\psi?[/tex] S'il vous plaît.

Yassine

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Re : valeur principal

Au départ, on a l'expression $\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}$ et on essaie de se débarrasser du $x$ au dénominateur.

Donc, d'abord on écrit  $\varphi(x)-\varphi(0) = \int_0^x \varphi'(t)dt$, ensuite on divise par $x$ pour avoir
$\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} = \frac{1}{x}\int_0^x \varphi'(t)dt$, d'où l'idée du changement de variable $\frac{dt}{x} = dy$...

tina

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Re : valeur principal

No, au départ on a seulement [tex]\dfrac{\varphi(x)}{x}[/tex] sans le [tex]\varphi(0)[/tex]. Non?

sbl_bak

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Re : valeur principal

Bonjour,
Tu devrais essayer le developpement de Taylor avec reste intégrale.

Tu vas obtenir quelque chose de la forme $\phi(x) = \phi(0) + x\psi(x)$, avec $\psi$ le reste, $\psi \in C^{0} \mathbb{(R)}$ et $sup|\psi(x)| \leq C.sup|\phi'(x)|$

tina

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Re : valeur principal

oups, ça s'emmêle encore un peu plus. Alors d'où vient l'expression de [tex]\psi[/tex]?

Yassine

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Re : valeur principal

Au départ, ce qu'on essaie de faire, c'est de donner du sens à la "distribution" définie par la fonction $\frac{1}{x}$. Cette fonction n'étant pas localement intégrable sur $\mathbb{R}$, on ne peut pas définir $T_{\frac{1}{x}}$.
On cherche donc un moyen de corriger $\frac{1}{x}\varphi(x)$ pour que l'intégrale converge.
On voit qu'on peut écrire $\displaystyle \frac{1}{x}\varphi(x) = \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} +\frac{\varphi(0)}{x}$
Par l'inégalité des accroissements finis, et ensuite par convergence dominée, on voit que l'intégrale $\displaystyle \int_{\epsilon}^R \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx$ converge. Il faut donc se débarrasser du terme $\frac{\varphi(0)}{x}$ si on veut y arriver.
Je pense que c'est de là qu'est née l'idée d'ajouter le terme $\displaystyle \frac{1}{-x}\varphi(-x)$ qui permet de "symétriser" l'intégrande et de se débarrasser ainsi du terme gênant.
On a donc la définition équivalente de la valeur principale
$\displaystyle \langle {\rm vp} \frac 1x, \varphi\rangle = \int_{0}^{+\infty} \frac {\varphi(x)-\varphi(-x)}{x} dx$

sbl_bak

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Re : valeur principal

$\displaystyle \phi(x)= \sum_{i}^{n}\frac{x^j}{j!}\phi(0) + \frac{x^{(n+1)}}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^{n}\phi^{(n+1)}(tx)dt$,

On pose $\psi(x) = \frac{x^{(n+1)}}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^{n}\phi^{(n+1)}(tx)dt$

Donc le développement de Taylor à l'ordre 1, cela nous donne :
$\psi(x) = \int_{0}^{1}(1-t)\phi'(tx)dt$

d’où  $\displaystyle \phi(x) = \phi(0) + x\psi(x)$  (1)

Nous pouvons donc écrire (1)

de la facon suivante :

$\displaystyle \int_{\epsilon \leq|x|\leq M}\frac{\phi(x)}{x} \mathrm{d} x = \phi(0)\int_{\epsilon\leq|x|\le M}\frac{1}{x} \mathrm{d} x + \int_{\epsilon\leq|x|\le M} \psi(x) \mathrm{d} x$

Il faut remarquer que $\int_{\epsilon\leq|x|\le M}\frac{1}{x} \mathrm{d} x = 0$

Je te laisse finir en pensant à appliquer le théorème de la convergence dominée et effectuée une majoration pour $\psi$.

tina

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Re : valeur principal

S'il vous plaît, à la fin comment on a l'égalité
[tex]
\displaystyle\int_{\epsilon}^R [\psi(x) + \psi(-x)] dx = \displaystyle\int_{-R}^R \psi(x) + \displaystyle\int_{\epsilon}^R \psi(x) dx
[/tex]
?
Et quel est l'interêt?

Yassine

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Re : valeur principal

Il y a une erreur dans ta recopie de la formule, la deuxième borne de la deuxième intégrale est $\epsilon$.
Tu devrais arriver à la retrouver sans trop de difficultés en utilisant des règles de base des intégrales : $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ et $\int_a^b = -\int_b^a$ et un petit changement de variable $y=-x$.
L'intérêt c'est qu'on "voit" immédiatement la limite quand $\epsilon \to 0$ puisque $\int_{-\epsilon}^\epsilon \to 0$.