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#1 15-11-2016 15:03:08
- tina
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convergence dans D
Bonjour,
j'ai la suite suivante
[tex]
\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), n \geq 1
[/tex]
La question est d'étudier la convergence de [tex]\eta_n[/tex] dans [tex]\mathcal{D}[/tex].
Voici ce que j'ai fait:
on commence par étudier la convergence simple de
[tex]\eta_n[/tex].
Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] fixé. On a:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)= \lim_{n \to +\infty} [\dfrac{1}{n} \varphi(nx)]= 0.[/tex]
Donc si cette suite converge dans D, ça sera vers la limite simple [tex]\eta=0.[/tex]
On note
[tex]Supp \varphi=K[/tex]
On a
[tex]Supp \eta_n = \dfrac{1}{n} K.[/tex]
Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}.[/tex] On a:
[tex]
sup_{x \in K} |D^{\alpha} \eta_n(x)| = sup_{x \in K} |\dfrac{1}{n} D^\alpha \varphi(nx)|
[/tex]
vers quoi ça converge? et comment savoir si ça converge? S'il vous plaît.
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#2 15-11-2016 16:07:58
- Yassine
- Membre
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Re : convergence dans D
Bonjour,
la notation $\displaystyle \dfrac{1}{n} K$ n'est pas très rigoureuse. Il faut plutôt passer par des intervalle :
$\exists R > 0, supp(\varphi) \subset [-R, R]$ et ensuite de dire $supp(\eta_n) \subset [-\dfrac{R}{n}, \dfrac{R}{n}] \subset [-R, R]$.
On a donc trouvé $K = [-R, R]$ tel que $\forall n, supp(\eta_n) \subset K$. Ce qui est la première condition de convergence dans $\mathcal{D}(\Omega)$.
Il faut après que tu montres la convergence pour $\eta_n^{(i)}$ pour tout $i$.
On a $\eta_n^{(i)}(x) = n^{i-1}\varphi^{(i)}(nx)$.
Le facteur $n^{i-1}$ va être une obstruction pour la convergence uniforme !
Beaucoup de choses vont se passer autour de zéro. il faudra raisonner selon que $\varphi$ est nulle ou non sur un voisinage de $0$ ($0 \in supp(\varphi)$ ou non).
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#6 15-11-2016 19:06:21
- Yassine
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Re : convergence dans D
Bah non !
Si $x \neq 0$, alors $\exists n_0, \forall n \ge n_0, nx \notin [-R, R] \supset supp(\varphi) \supset supp(\varphi'')$, et donc $\varphi''(nx)=0$
Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} [n \varphi'' (nx)]= 0$ pour tout $x \neq 0$
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#7 15-11-2016 19:44:31
- tina
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Re : convergence dans D
olàlà, je ne suis pas du tout cncentrée moi aujourd'hui. C'est vrai vous avez tout à fait raison. Toutes mes excuses.
Mais alors, qu'est ce qu'on peut conclure à propos de la convergence de [tex](\eta_n)[/tex]?
Je vous remercie pour votre aide.
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#8 15-11-2016 20:14:39
- Yassine
- Membre
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Re : convergence dans D
On peut déjà conclure $\eta_n^{(i)}$ converge simplement vers $0$ pour tout $x \neq 0$
Le truc est de voir que pour conclure à la convergence pour un $x$ donné, on dû trouver un $n_0$ qui dépend de $x$ (c'est le premier entier tel que $n_0x \notin [-R,R]$), c'est ce qui permet de contenir le facteur $n^{i-1}$. Il sera difficile de trouver un $n_0$ qui marche pour tout $x$.
C'est la grande différence entre $\forall x, \exists n_0$ (convergence simple) et $\exists n_0, \forall x$ (convergence uniforme).
Le but de l'exercice je pense, est de montrer la différence entre convergence simple est convergence uniforme.
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#11 16-11-2016 12:00:53
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : convergence dans D
Bonjour,
Pour illustrer pourquoi c'est important, je vais supposer que $\Omega=]-\infty, -1[ \cup ]1,+\infty[$ et que $supp(\varphi) = [2,3]$.
Dans ce cas, on posant $n_0=4$, on a $\forall x \in \Omega, \forall n \ge n_0, nx \notin supp(\varphi)$ et donc $\varphi^{(i)}(nx)=0$ pour tout $i$, soit encore $\eta_n^{(i)} = 0$.
Dans ce cas, je trouve bien un $n_0$ indépendant de $x$ qui fasse que $\eta_n^{(i)}$ est proche de $0$ (ici, elle est même égale à zéro).
L'idée est que, quand on est sûr que $x$ n'est pas nul, à savoir $|x| \ge m$, on sait qu'à partir d'un certain $n_0$, $nx$ va se retrouver en dehors du support de $\varphi$ (car ce dernier est borné). Par contre, pour le cas $x=0$, la multiplication par $n$ n'a aucun effet, et tout dépendra de $\varphi^{(i)}(0)$.
Si $\varphi$ s'annule sur un voisinage autour de $0$ (c'est à dire $0 \notin supp(\varphi)$, alors $\varphi^{(i)}(0) = 0$ pour tout $i$ et un pourra également conclure que ça converge uniformément.
Dans le cas $0 \in supp(\varphi)$ et $\varphi(0) \neq 0$, Il y a divergence.
Dans le cas $0 \in supp(\varphi)$ et $\varphi(0) = 0$ ($\varphi$ non nulle sur un voisinage de $0$), c'est plus délicat. Il faudrait pouvoir invoquer le fait qu'il y a un certain $i$ tel que $\varphi^{(i)} \neq 0$, mais ça n'est vrai que pour les fonctions analytiques (la fonction $x \mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée en $0$ par $0$ est indéfiniment dérivable en $0$, ses dérivée sont nulles en $0$, et pour autant, elle n'est pas nulle sur un voisinage de $0$). Donc on ne peut pas conclure en toute généralité sur $\varphi$ (ou du moins, je ne sais pas conclure).
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