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Pour la solution générale de l'équation homogène associée, c'est ok.
Pour la solution particulière, j'ai deux questions:
1. Comment on voit que la solution particulière est de la forme [tex]gH[/tex]?
2. Alors je suppose qu'il faut déterminer le g. Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
<(gH)'', \varphi> - 4 <gH,\varphi> = <gH,\varphi''> - 4 <gH,\varphi>=0
[/tex]
à partir de ce point je bloque complétement. Comment raisonner? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Merci, c'est déjà plus clair, mais j'ai quelques questions s'il vous plaît.
1. Pourquoi est-ce qu'on pense à diviser par x? Poir moi, le premier reflexe est d'écrire ceci:
[tex]
<xT, \varphi> = <T,x \varphi> = <g,\varphi>.
[/tex]

2. Quand vous trouvez que pour toute fonction test [tex]\varphi[/tex] telle que [tex]\varphi(0)=0[/tex], on a
[tex]
<T,\varphi> = <g,\frac{\varphi}{x}>
[/tex]
pour traiter le cas général, je ne comprend pas pourquoi on pense à retrancher [tex]\varphi(0)[/tex] ni pourquoi on fait intervenir une fonction platau et pourquoi utiliser le [tex]\Phi[/tex].

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Oui, je connais bien la méthode générale. Mes difficultées sont:
1. Comment trouver la solution générale de [tex]T" - 4T[/tex]? (elle du second ordre)
2. Comment on sait à quoi va ressembler la solution particulière?
Merci par avance pour votre aide.

Pardon, je suis vraiment perdue. Je ne comprend pas comment on fait pour voir que [tex]\ln|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex] mais elle n'est pas [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex].
Aidez moi à connaître la méthode s'il vous plaît.

Comment justifier le fait qu'elle ne soit pas [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]? On a:
[tex]
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| dx = \displaystyle\int_{-\infty}^0 \log(-x) dx +  \displaystyle\int_0^{+\infty} \log(x) dx
=   [-x \log(-x)+x]_{-\infty}^0 +  [x \log(x)-x]_{0}^{+\infty}
[/tex]
moi je vois un problème en [tex]x=0[/tex] puisque [tex]\log(x)[/tex] n'est pas définie en 0. Non? Qu'est ce qu'il faut dire? S'il vous plaît.

Ca me parait bizare que [tex]L^p[/tex] soit inclus dans [tex]L^1_{loc}[/tex], en tant normal, d'après l'appélation, lelocal est inclus dans le [tex]L^p[/tex]. En général on ce dit qe c'est le local qui est inclus et pas le local qui contient. Comment on peut savoir?

D'où on peut déduire l'injection de [tex]L^1[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'?[/tex] S'il vous plaît.

Paedon, je ne vous suis plus. Quels arguments il faut? Normalement c'est clair que ca tend vers [tex]+\infty[/tex] pusqu'on parle du sup. Et je ne comprend pas votre dérnière remarque sur [tex]D^\alpha \varphi(nx)[/tex] qui pourrait annuler le terme [tex]n^{\alpha-1}[/tex]. Expliquez moi un peu de quoi il s'agit s'il vous plaît.

Mais la suite [tex]\eta_n = \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex] converge simplement vers 0 pour tout x fixé, il n y a pas de problème. Je ne comprend pas pourquoi parler du point zéro dans le calcule de [tex]\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)|[/tex]

Je récapitule s'il vous plaît, et je souhaiterai que vous me corrigiez s'il vous plaît.

On considère la suite
[tex]
\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), n \geq 1.
[/tex]

1. Convergence dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]Soit
[tex]\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] On calcule
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \eta_n(x) \psi(x) dx.
[/tex]
On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(nx) \psi(x) dx
=
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_K \varphi(nx) \psi(x) dx.
[/tex]
En fait, je ne sais pas coment choisir le compact K. Il contient le support de quelle fonction teste?
Puisque les fonctions [tex]\psi[/tex] et [tex]\varphi[/tex] sont continues sur le compact [tex]K[/tex], elles sont bornées et atteignent leurs bornes, ainsi on peut écrire
[tex]0 \leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_K |\varphi(nx) \psi(x)| dx \leq \dfrac{1}{n} \sup_{x \in K} |\varphi(x) \psi(x)| \to 0[/tex],
donc
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \langle \eta_n,\psi \rangle = 0 = \langle 0,\psi \rangle.
[/tex]
Ce qui veut dire que
[tex]\eta_n \to 0[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]
Tout est bon?
2. Convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
Pour étudier la convergence d'une suite dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}),[/tex] on commence par étudier la convergence simple de cette suite. Si elle convergence simplement vers une limite [tex]\eta,[/tex] alors si elle converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex] ça sera vers [tex]\eta.[/tex] Sinon, si la suite ne converge pas simplement, alors on conclut directement qu'elle ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]

Donc, on commençe par étudier la convergence simple de [tex]\eta_n.[/tex]
Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)= \lim_{ n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(nx)=0.
[/tex]
Donc [tex]\eta_n[/tex] converge simplement vers [tex]\eta=0.[/tex]

Regardonc la convergence uniforme de [tex]D^\alpha \eta_n.[/tex] Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} |D^\alpha \eta_n(x)| = \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha - 1} D^\alpha \varphi(nx)|.
[/tex]
Pour tout [tex]\alpha >1,[/tex] on a:
[tex]n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx) \to +\infty.[/tex]
Donc,
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \eta_n(x)|=+\infty.
[/tex]
On en conclut que [tex]\eta_n[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]
Pourquoi ce dernier raisonnement n'est pas correct? Où est l'erreur?

Je vous remercie pour votre aide.

Avec ce changement de variables, je trouve:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} \displaystyle\int_K \varphi(u) \psi(\dfrac{u}{n}) du
[/tex]
j'ai l'impression que c'est encore pire, j'ai donc essayé avec [tex]u=\dfrac{1}{n}x[/tex], et c'est pareil. Pas d'idée pour s'en sortir.