Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

convergence dan D'

Bonjour,
Comment calculer dans [tex]D'[/tex] la limite de [tex]\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex] où [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})?[/tex]
Voici ce que j'ai essayé:
Puisque [tex]\eta_n \in L^1_{loc}[/tex], elle définie une distribution: [tex]T_{\eta_n}[/tex] définie par:
[tex]
\forall \psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle T, \psi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \eta_n(x) \psi(x) dx
=
\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}}  \varphi(nx) \psi(x) dx
=
\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{K} \varphi(nx) \psi(x)dx,
[/tex]
où [tex]K[/tex] est un compact qui contient le support de [tex]\varphi[/tex] (ou le support de [tex]\psi[/tex], je ne sais pas bien).
Ma question est: comment calculer
[tex]\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{K} \varphi(nx) \psi(x)dx?[/tex]

Dernière modification par tina (16-11-2016 13:32:34)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Relis ton énoncé, il y a une inconsistance entre la définition de $\eta_n$ et son remplacement dans l'intégrale.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Oui pardon, c'est corrigé.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Pour résoudre, il est important que tu gardes trace des supports respectifs de $\varphi$ et de $\psi$.
La règle est simple, su tu sais que $supp(f) \subset [-R,R]$, alors tu sais que $\displaystyle \int_{\Omega} f(x)dx = \int_{-R}^R f(x)dx$ (en dehors de $[-R,R]$, la fonction est nulle et ne contribue pas à l'intégrale).

Ensuite, tu pourras essayer de faire un changement de variable $u = nx$.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Est-ce que tu as étudié les suites régularisantes ?

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Avec ce changement de variables, je trouve:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} \displaystyle\int_K \varphi(u) \psi(\dfrac{u}{n}) du
[/tex]
j'ai l'impression que c'est encore pire, j'ai donc essayé avec [tex]u=\dfrac{1}{n}x[/tex], et c'est pareil. Pas d'idée pour s'en sortir.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Tu es sûre que ce n'est pas $n\varphi(nx)$ ?
l'expression que tu montres converge vers $0$
.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Non, c'est [tex]\eta_n= \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex].
Quand vous passez à la limite, comment vous justifier le passage à la limite sous le sogne somme? S'il vous plaît.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Bonjour,
Les fonction $\varphi$ et $\psi$ sont en particulier continues et donc bornée sur un compact. L'intégrale peut être bornée. D'ailleurs, il n'y a pas besoin de faire le changement de variable. On peut le faire sur l'intégrale initiale.
J'avais pensé initialement qu'il s'agissait d'une (simili) suite régularisante : $\frac{1}{\epsilon}\varphi(\frac{x}{\epsilon})$ avec $\epsilon=\frac{1}{n}$, mais ce n'est pas le cas apparemment.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Je récapitule s'il vous plaît, et je souhaiterai que vous me corrigiez s'il vous plaît.

On considère la suite
[tex]
\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), n \geq 1.
[/tex]

1. Convergence dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]Soit
[tex]\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] On calcule
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \eta_n(x) \psi(x) dx.
[/tex]
On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(nx) \psi(x) dx
=
\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_K \varphi(nx) \psi(x) dx.
[/tex]
En fait, je ne sais pas coment choisir le compact K. Il contient le support de quelle fonction teste?
Puisque les fonctions [tex]\psi[/tex] et [tex]\varphi[/tex] sont continues sur le compact [tex]K[/tex], elles sont bornées et atteignent leurs bornes, ainsi on peut écrire
[tex]0 \leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_K |\varphi(nx) \psi(x)| dx \leq \dfrac{1}{n} \sup_{x \in K} |\varphi(x) \psi(x)| \to 0[/tex],
donc
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \langle \eta_n,\psi \rangle = 0 = \langle 0,\psi \rangle.
[/tex]
Ce qui veut dire que
[tex]\eta_n \to 0[/tex] dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}).[/tex]
Tout est bon?
2. Convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
Pour étudier la convergence d'une suite dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}),[/tex] on commence par étudier la convergence simple de cette suite. Si elle convergence simplement vers une limite [tex]\eta,[/tex] alors si elle converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex] ça sera vers [tex]\eta.[/tex] Sinon, si la suite ne converge pas simplement, alors on conclut directement qu'elle ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]

Donc, on commençe par étudier la convergence simple de [tex]\eta_n.[/tex]
Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)= \lim_{ n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(nx)=0.
[/tex]
Donc [tex]\eta_n[/tex] converge simplement vers [tex]\eta=0.[/tex]

Regardonc la convergence uniforme de [tex]D^\alpha \eta_n.[/tex] Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}.[/tex] On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} |D^\alpha \eta_n(x)| = \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha - 1} D^\alpha \varphi(nx)|.
[/tex]
Pour tout [tex]\alpha >1,[/tex] on a:
[tex]n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx) \to +\infty.[/tex]
Donc,
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \eta_n(x)|=+\infty.
[/tex]
On en conclut que [tex]\eta_n[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}.[/tex]
Pourquoi ce dernier raisonnement n'est pas correct? Où est l'erreur?

Je vous remercie pour votre aide.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Pour ta question sur la première partie, le principe est très simple. L'intégrale d'une fonction dans une zone où elle nulle est nulle. Donc, si je sais que $f$ est nulle en dehors de l'intervalle $[1,2]$ par exemple (i.e. $supp(f) \subset [1,2]$), alors
$\int_{\mathbb{R}}f(x)dx = \int_{1}^{2}f(x)dx$.
Quand tu as un produit de deux fonctions, tu peux restreindre l'intégration à l'intersection des supports.

Attention il manque un $\frac{1}{n}$ dans la ligne qui suit 'On a:'
Autrement, ça me semble correct.

Pour la deuxième question
Première limite : il faut ajouter que $\varphi$ est à support compact, donc le terme $\varphi(nx)$ est borné pour tout $x$.

L'affirmation $\displaystyle n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx) \to +\infty$ est fausse (il suffit de prendre $x=0$ et $\varphi$ nulle au voisinage de $0$ de manière à avoir $D^\alpha \varphi(0)=0$).

Il faut montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx) |=+\infty$ (si $\varphi$ n'est pas nulle bien sûr).

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Mais la question est de calculer la limite de [tex]\sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^{\alpha} \varphi(nx)|[/tex], donc pourquoi chercher ce qui se passe au point [tex]x=0[/tex], puisque ce qui nous interesse est la limite du sup?

Dernière modification par tina (17-11-2016 17:03:50)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Le point $x=0$ concernait la convergence simple.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Mais la suite [tex]\eta_n = \dfrac{1}{n} \varphi(nx)[/tex] converge simplement vers 0 pour tout x fixé, il n y a pas de problème. Je ne comprend pas pourquoi parler du point zéro dans le calcule de [tex]\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)|[/tex]

Dernière modification par tina (17-11-2016 17:43:11)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Non, je parlais de la convergence simple de $D^\alpha \eta_n$, qui elle n'est pas garantie dans tous les cas.

Pour la convergence uniforme, il n'y a pas à se préoccuper en particulier du point $x=0$, il faut regarder le sup et montrer que ça diverge.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Ah, donc la solution que j'ai proposé est correcte, puisque our la convergence dans [tex]\mathcal{D}[/tex], on n'a pas besoin de la convergence simple de [tex]D^\alpha \eta_n[/tex]. Non? Donc on peut écrire que
[tex]
\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)=+\infty.
[/tex]

Dernière modification par tina (17-11-2016 18:48:16)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Oui, c'est ce qu'il s'agit de démontrer. Il faut argumenter un peu. Le terme $D^\alpha \varphi(nx)$ pourrait annuler le terme $n^{\alpha-1}$.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

Paedon, je ne vous suis plus. Quels arguments il faut? Normalement c'est clair que ca tend vers [tex]+\infty[/tex] pusqu'on parle du sup. Et je ne comprend pas votre dérnière remarque sur [tex]D^\alpha \varphi(nx)[/tex] qui pourrait annuler le terme [tex]n^{\alpha-1}[/tex]. Expliquez moi un peu de quoi il s'agit s'il vous plaît.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Je donne un exemple (impossible ici, puisqu'on est à support compact) : imagine que $D^{\alpha}\varphi(nx)$ soit égal à $\displaystyle e^{-nx}$ et qu'on s'intéresse au compact $[1,2]$, alors $\displaystyle \sup_{x \in [1,2]}|n^{\alpha-1}e^{-nx}| = n^{\alpha-1}e^{-n} \to 0$
Il faut argumenter pour montrer qu'on n'est pas dans ce genre de situation.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Deux points à préciser pour te faciliter la vie :
1) Tu n'es pas obligé de montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |n^{\alpha-1} D^\alpha \varphi(nx)|=+\infty$ mais juste que la limite, si elle existe, n'est pas $0$.
2) Tu peux choisir le $\alpha$ qui t'arrange puisque la convergence dans $\mathcal{D}$ suppose une convergence uniforme pour tout $\alpha$. Si tu trouves un $\alpha$ qui ne marche pas, c'est gagné.

tina

Membre

Inscription : 27-03-2014

Messages : 285

Re : convergence dan D'

et pourquoi ici on n'est pas dans ce genre de situation?

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : convergence dan D'

Cf mon post précédent : on peut se permettre de choisir le $\alpha$ qui nous arrange.
En l'occurrence, $\alpha=1$.
On sait que $\varphi'$ est non nulle (sinon, $\varphi$ serait également nulle, car à support compact).
Soit donc $x_0$ tel que $\varphi'(x_0) \neq 0$. Posons $\varepsilon = \frac{1}{2}|\varphi'(x_0)|$ et soit $n$ quelconque, je pose $n_0=n+1$ et $x = \frac{x_0}{n_0}$.
Alors $|\eta'_{n_0}(x)| = |\varphi'(n_0x)| = |\varphi'(x_0)| > \varepsilon$.

On a donc montré que $\exists \epsilon > 0, \forall n, \exists n_0 \geq n, \exists x, |\eta'_{n_0}(x)| > \varepsilon$ ce qui est exactement la négation de la convergence uniforme de $\eta_n'$ vers $0$

--EDIT--
Le point important que je n'ai pas mentionné, c'est que je peux aussi choisir $x$ comme je veux. Si $\Omega=]1,+\infty[$, je n'aurais pas pu dérouler mon argument ($x_0$ tel que je l'ai construit n'est pas forcément dans $\Omega$).

Dernière modification par Yassine (17-11-2016 22:42:28)