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tina

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Injection continue

Bonjour,
c'est une question un peu bête, mais voilà. Est-ce que c'est [tex]L^1_{loc}(\Omega)[/tex] qui s'injecte continûment dans [tex]\mathcal{D}'(\Omega)[/tex], ou bien c'est
[tex]L^1(\Omega)[/tex] qui s'injecte continûment dans [tex]\mathcal{D}'(\Omega)[/tex]?
Je vous remercie pour votre aide.

Yassine

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Re : Injection continue

Bonjour,
Première option : $\displaystyle L^1_{loc}(\Omega)$.

tina

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Re : Injection continue

Voilà, je lis dans un cours qu'on a aussi
[tex]
L^1(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{D'}
[/tex]
et tous les espaces [tex]L^p[/tex] sont des espaces de [tex]\mathcal{D}'[/tex] C'est faux?

Yassine

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Re : Injection continue

Non, c'est vrai.

tina

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Re : Injection continue

D'où on peut déduire l'injection de [tex]L^1[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'?[/tex] S'il vous plaît.

Yassine

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Re : Injection continue

On a $L^p(\Omega) \subset L^p_{loc}(\Omega)$.
Donc, $\displaystyle L^1_{loc}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{D'} \Rightarrow L^1(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{D'}$.

tina

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Re : Injection continue

Ca me parait bizare que [tex]L^p[/tex] soit inclus dans [tex]L^1_{loc}[/tex], en tant normal, d'après l'appélation, lelocal est inclus dans le [tex]L^p[/tex]. En général on ce dit qe c'est le local qui est inclus et pas le local qui contient. Comment on peut savoir?

Yassine

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Re : Injection continue

Non.
Ici, le suffixe 'loc' signifie que la fonction est localement intégrable. C'est à dire, que sa restriction à un compact $K \in \Omega$ est intégrable. Alors que $L^1$ signifie qu'elle est intégrable sur $\Omega$, ce qui est plus fort. Par exemple, $x^2$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}$ mais elle n'est pas intégrable sur $\mathbb{R}$ (son intégrale diverge).

tina

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Re : Injection continue

C'est justement le fait que [tex]L^1[/tex] soit plus fort qui fait qu'à chque fois je dis que c'est [tex]L^1_{loc}[/tex] qui est contenue dans [tex]L^1[/tex]

Yassine

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Re : Injection continue

Non.
S'il faut 1M€ pour être riche et 100M€ pour être super riche (condition plus forte), alors l'ensemble des super riches est inclus dans celui des riches !

Le terme "plus fort" ne veut pas dire "plus vaste". On rend un ensemble plus vaste en affaiblissant les conditions requises pour y appartenir.

tina

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Re : Injection continue

Ah merci beaucoup pour l'explication Comme ça je ne n'oublirai pas. Super merci beaucoup