Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Concernant cette égalité j'ai des doutes sur sa véracité, voici pourquoi :
Prenons le cas particulier de $\mathbb{R}$ qui est un anneau en particulier.
Donc étant donné que $ab+ba =1$ on a donc $2ab =1$ donc $a= \frac{1}{2b}$, donc en utilisant ça et l'équation $a^{2}b+b^{2}a = 1$ p, on obtient :
$1+2b^{2}=4b$ et en résolvant on a $b \in \left\{\frac{2-\sqrt{2}}{2}, \frac{2+\sqrt{2}}{2}\right\}$. Prenons le cas $b=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Donc le couple $(a,b)$ avec $a = \frac{1}{2b}$ et $b =\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ vérifie : $ab+ba=1$ et $a^{2}b+b^{2}a=1$.

Or si on a $a^{2}b=b^{2}a$, puisque $a= \frac{1}{2b}$ alors $\frac{1}{4b}=\frac{b}{2}$, donc $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ or on a choisis $b>0$ donc $b= \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Donc $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ donc $\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$ donc $2=0$ ce qui est absurde...

Donc soit je me suis trompé dans mes calculs soit il manque une ou plusieurs hypothèse à ton énoncé, ou ce n'est pas la bonne égalité.

Bonjour,
Qu'as tu fais ? Pourquoi bloques tu ? etc.
Ah et la 1ère égalité que tu dois montrer, c'est exactement une de tes hypothèses, donc tu ne te serais pas un peu trompé ?

Bonjour,
Ah mince c'est embêtant, on va faire autrement alors.
Bon tu sais que la dérivée partielle de $f$ selon $x$ (la partie réelle) est égale à sa dérivée $f'$ (si tu ne le sais pas je te le démontrerai).
Donc $f' = u_{x} + i u_{x}$ (avec $f = u + iv$ et $u_{x} = \frac{\partial f}{\partial x}$). Donc par l'équation de Cauchy-Riemann :
$u_{x} = v_{y}$ et $v_{x} = - u_{y}$.
Et puisque $\overline f$ est holomorphe et $\overline f = u - iv$, on a de la même façon : $u_{x} = -v_{y}$ et $-v_{x} = - u_{y}$.
Donc : $u_{x} = - u_{x}$ et $v_{x} = -v_{x}$ donc $f' = u_{x} + iv_{x} = 0+i.0 = 0$.
Donc $f$ est localement constante.

Bonsoir,
On peut-t'aider mais avant dis nous ce que tu as déjà fait,  pourquoi tu ne réussi pas à avancer, etc.

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire...
L'équation de Cauchy-Riemann se réécrit avec l'opérateur différentiel $\overline \partial$, l'équation de Cauchy-Riemann est équivalente à :
$\overline \partial f = 0$.
ça te dit quelque chose ce symbole ?

Bonjour,
Il me semble que c'est au début d'un cours sur les fonctions holomorphes ce genre de choses, donc tu devrais aussi pouvoir y répondre toi même :
Connais tu les équations de Cauchy-Riemann ?

Bonjour,

J'ai plusieurs questions (je dois avouer que j'ai tout d'abord été sceptique mais vu que l'on ne parle pratiquement pas de ce langage sur internet (même si ce n'est pas référence absolue il en reste qu'internet regorge d'une quantité incroyable d'informations) du coup je vais dire que pour l'instant je te crois !), tout d'abord pourquoi ce langage est tombé dans l'oublie ? (Peut-être est-ce la malchance ou peut-être y-a-t'il une cause identifiable)

Je n'ai trouvé presque aucune référence sur ce langage sur internet sauf peut-être cette conversation :
Le langage EGO [Futura-sciences]
J'y apprends qu'il y a été créé une grammaire jamais publiée (pourquoi ? si ça trouve application pourquoi ne pas le publier ?) : La théorie des I-grammaires, et vu que tu es celui qui a créé ce langage je suppose que tu es l'auteur du post dans ce forum, du coup d'où ma deuxième question :

Serait-il possible d'avoir accès à cette théorie ?

Je suis loin d'être expert dans le domaine des grammaires (automates formels, etc.) ce qui fait que peut-être que c'est pour ça que je n'ai jamais entendu parler d'une telle fonction AVANT, ça semble super intéressant !

Tu dis aussi que dans ce langage absolument tout est paramétrable, certes, mais comment ? Car si c'est paramétrable facilement ça doit être quelque peu lourd.

Bonsoir,
Je me permets d'intervenir,
Tout d'abord il me semble qu'il manque quelques trucs dans le post initiale, par exemple il aurait été bien de préciser que $X_{1},...,X_{n}$ sont des variable aléatoires de $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.
Ensuite, préciser que la tribu engendrée par ces vecteurs est la tribu engendré par leur image inverse ($X_{i}^{-1}$) (si j'ai bien compris ce que tu voulais dire par "tribu engendrée par les vecteurs etc.").
Bon et bien si j'ai tout bien raison sur ce qui précède, la réponse à ta question initiale est toute bête, puisque par définition de $F_{n}$ $X_{1},...,X_{n}$ sont mesurables et que la somme de fonctions mesurables est une fonction mesurable alors $S_{n}$ est une fonction mesurable.

Est-ce ceci que tu attendais ?

Bonjour,
@Yoshi oui je connaissais wolframalpha mais je n'ai pas pensé à l'utiliser ! Mais c'est rassurant que la machine est d'accord avec les calculs...
@72Messo10, voici la solution du 4. toute rédigée :
D'après les calculs de Yoshi, le triplet de réels $(a,b,c)$ vérifie $(ab+ac+bc)^{3}=abc(a+b+c)^{3}$ ssi il vérifie $a^3 b^3  + a^3 c^3 + b^3 c^3 = abc(a^3   + b^3  +  c^3)$.
Maintenant ce que je me suis dit c'est qu'il serait pas mal de regarder ça d'un point de vue analytique et/ou algébrique, étant donné que je ne voyais pas comment faire avec des dérivés de fonction, j'ai pris le point de vue algébrique et chercher à factoriser l'expression :
je remplace $c$ par $x$ et j'obtiens :
$0 = ab. x^{4} - (a^{3}+b^{3}).x^{3} + ab.(a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{3} = ab.(x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2})$
On suppose que $a,b \not = 0$.
Je pose donc $P(x) = x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2}$.

Grâce à la remarque de freddy (son dernier post sur cette discussion), on sait que le triplet : $(a,b,z)$ ($z=\frac{b^{2}}{a}$) vérifie $a^3 b^3  + a^3 z^3 + b^3 z^3 = abz(a^3   + b^3  +  z^3)$.
Donc $P(\frac{b^{2}}{a})=0$ (ou alors ça se constate par calcul direct par contre je doute que sans le raisonnement précédent, wolframalpha ou une intuition hors du commun on puisse deviner cette racine).
De la même manière on remarque que : $P(\frac{a^{2}}{b})=0$.

Donc étant donné que tu n'as pas vu la division euclidienne pour les polynômes, on va faire autrement pour la suite.
Donc comme je l'ai dit dans le post #50 on peut se demander s'il n'existerait pas un polynôme $P_{1}$ tel que $P(x) = (x-\frac{b^{2}}{a})(x-\frac{a^{2}}{b}).P_{1}(x)$ (autrement que par l'intuition je ne vois pas comment aboutir à cette idée, désolé).

On cherche $P_{1}$ vérifiant l'égalité ci-dessus et de la forme suivante (car le degré de $P$ est 4) : $P_{1}(x) = x^{2} + \alpha x +\beta$.
Donc :
$(x-\frac{b^{2}}{a})(x-\frac{a^{2}}{b}).P_{1}(x) = x^{4} - (\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha).x^{3} + (\frac{b^{2}}{a}.\frac{a^{2}}{b} - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b})x^{2} + (\alpha.\frac{a^{2}}{b}.\frac{b^{2}}{a} - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}).x + \beta.\frac{a^{2}}{b}.\frac{b^{2}}{a} \\
= x^{4} - (\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha).x^{3} + (ab - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b} + \beta)x^{2} + (\alpha.ab  - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}).x + \beta.ab$

Rq : soit $Q(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}q_{k}.x^{k}$ et $R(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} r_{k}.x^{k}$. alors on a :
$Q=R$ ssi pour tout $k \in [\![1,n]\!]$ $q_{k}=r_{k}$. (se démontre par dérivation successive et en évaluant chaque dérivée en 0).

Puisque par définition $P(x) = x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2}$, on a :
$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab} = \frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha$
$0 = ab - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b}$
$a^{3} + b^{3}  = \alpha.ab  - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}$
$- (ab)^{2} = \beta.ab$

Et là je te laisse faire les derniers calculs (que je n'ai pas fait, donc si ça n'aboutit pas dit moi et je regarderai ça) et tu es censé(e) obtenir que $P_{1}(x) = x^{2} - ab$.

Donc le triplet $(a,b,c)$ vérifie $(ab+ac+bc)^{3}=abc(a+b+c)^{3}$ ssi $P(c) = 0$ ssi $c = \frac{a^{2}}{b}$ ou $c = \frac{b^{2}}{a}$ ou $c^{2} = ab$.
Et je te laisse conclure à l'aide du post #50 ;)

Je ne connaissais pas ce genre de classe ! Hmmm ça a l'air d'être intéressant, mais si ton professeur à une solution qui ne ressemble pas à la mienne j'aimerai voir ça si ça ne te gêne pas ;)
Je suis un peu surpris que tu ais compris cette idée de divisibilité, c'est que tu dois être plutôt lucide alors. Si tu comprends le pourquoi du comment de la solution que je t'ai proposé je pense que tu peux regarder un peu en quoi consiste cette division euclidienne pour les polynômes... ça peut-être intéressant pour plus tard.

Quant à la 3... Oui c'est une bonne idée mais ce n'est pas vraiment ce que la question demande, c'est une question d'interprétation, à mon avis ce que l'on demande c'est une condition suffisante pour avoir une très bonne approximation, regarde la question 2., on a montré que si $a,b$ respectent une certaine condition alors on ne peut approcher $\sqrt{2}$ à moins de $4.10^{-17}$ par un rationnel, donc quelle est la "bonne" question à se poser ?

Bonsoir,
Oupsi je viens de m’apercevoir d'une faute dans ce que j'ai écris un peu plus haut sur la question 4. ...
Bon, je n'ai pas de solution mais par contre je pense avoir une preuve que la proposition de la question 4. est fausse par contre ce n'est pas à la porté d'un lycéen, mais plus d'un L1 maths lorsqu'on a étudié un peu les polynômes...
J'ai repris l'équation de Yoshi et poser en conséquence ce polynôme : $P=X^{4}-\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}X^{3} + (a^{3}+b^{3})X - (ab)^{2}$.
Ensuite on remarque qu'en fait la question 4. nous demande de montrer tout simplement que $c = \frac{b^{2}}{a}$ (en reprenant les notations de freddy, car on a nécessairement que $r = \frac{b}{a}$).
Donc ce que l'on doit montrer c'est que $\frac{b^{2}}{a}$ est racine au moins double du polynôme $P$ et que les autres racines sont imaginaires (car $P$ est de degré 4 et puisqu'il possède une racine réelle et que le conjugué d'une racine est encore une racine, forcément il existe une autre racine réelle qui doit donc forcément être $\frac{b^{2}}{a}$ (car sinon cela contredit la proposition) et donc $\frac{b^{2}}{a}$ est une racine au moins double, et puisque l'on veut que $P$ ne possède pas d'autres racines réelles (car $a,b,c$ sont réels), nécessairement les autres racines sont complexes).

Ensuite, soit par le dernier post de freddy soit par un calcul direct on a que $P(\frac{b^{2}}{a}) = 0$.
Or $\frac{b^{2}}{a}$ est racine au moins double ssi $P'(\frac{b^{2}}{a})=0$.
Or $P' = 4X^{3} -3 \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}X^{2}+a^{3}+b^{3}$, et :
$P'(\frac{b^{2}}{a}) = 4(\frac{b^{2}}{a})^{3} -3 \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}(\frac{b^{2}}{a})^{2}+a^{3}+b^{3} \\
= 4\frac{b^{6}}{a^{3}}-3 \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\frac{b^{4}}{a^{2}}+a^{3}+b^{3} \\
=\frac{4.b^{6}-3.(a^{3}+b^{3}).b^{3}}{a^{3}}+a^{3}+b^{3} \\
=\frac{b^{6}-3.a^{3}.b^{3}}{a^{3}}+a^{3}+b^{3} \\
= \frac{1}{a^{3}}.(b^{3}-a^{3})^{2}$.
Donc en prenant $a=b-1=1$ on a $P'(\frac{b^{2}}{a}) \not = 0$.
Donc il existe une autre racine réel différente de $\frac{b^{2}}{a}$ au polynôme.
Donc il existe $c \not = b.r$ tel que $(ab+ac+bc)^{3}=abc(a+b+c)^{3}$...

Bon je suis un peu fatigué donc j'ai peut-être fait une erreur dans tout ça, par contre l'avantage de ce raisonnement c'est qu'il fournit forcément une réponse...

NB : Je laisse ce qui est ci-dessus pour ceux qui voudrait s'amuser à trouver ce qui est faux, mais je pense avoir finalement trouvé la bonne réponse (après mettre aperçu que le "contre-exemple" que j'ai donné est en fait pas un contre exemple mais un exemple et compris d'où venait mon erreur et réussi à en tirer la bonne réponse finalement, et à la porté d'un lycéen ou d'une lycéenne) :
Avec les mêmes notations on a : $P = (X-\frac{b^{2}}{a})(X-\frac{a^{2}}{b})(X^{2}-ab)$ (résultat que j'ai obtenu en faisant des divisions euclidiennes sur le polynôme $P$).
Donc, $c$ est solution de $(ab)^{3}+a^{3}X^{3}+b^{3}X^{3}=(a^{4}b+b^{4}.a).X + abX^{4}$ ssi P(c)=0.
Donc si $R(c)=0$ avec $R =(X-\frac{b^{2}}{a})(X-\frac{a^{2}}{b})$, et dans ce cas on a ce qu'on veut.
Et si $c^{2}-ab=0$ alors $c=\pm \sqrt{ab}$, donc :
si $c=\sqrt{ab}$ alors $b=\frac{c^{2}}{a} = c.r$ et $c=a.r$ (avec $r=\frac{a}{c}$).
et si $c=-\sqrt{ab}$ alors on a aussi ce qu'on veut.
Voilà ! c'est pas si long que ça finalement ^^

Au passage ton programme python me semble correct, par contre il faut que tu mettes des indentations et pas que tu sautes à la lignes après le "for diviseur in", et il n'y a pas de majuscule à "for" (à "def", "if" et "print" non plus) ce qui donne écris en propre :

Et en ce qui concerne la question 4., c'est exactement ce que j'ai dit ;) Mais il faut que tu comprennes pourquoi ça ne répond pas à la question ! Ce que j'ai dit dans mon dernier post (avant celui ci) c'est que remplacer ne résout pas la question (sauf si le résultat énoncé par la question est faux) car on ne te demande pas s'il existe des solutions mais te demande de montrer que que si un tel triplet de nombres existe alors forcément il existe $q_{0} \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$ tel que $a = q_{0}.q^{n}$, $b = q_{0}.q^{n+1}$ et $c = q_{0}.q^{n+2}$.