Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous.
(O;i;j;k) est un repère orthonormal.(d)est une droite définie par le système d'équations:
[tex]\begin{cases}2x+y+1=0\\x+2z-3=0\end{cases}[/tex].
On veut déterminer tous les plans tangents à la sphère S de centre A(0;4;0) de rayon [tex]\sqrt{5}[/tex] et contenant (d).
1)Montrer que le plan P d'équation x+2z-3=0 n'est pas tangent à S.
2)On considère les plans Pa d'équation (2x+y+1)+a(x+2z-3)=0.Montrer que[tex]\forall[/tex]a[tex]\in\mathbb{R}[/tex](d) est contenue dans Pa.
3)Déterminer l'intersection de Pa avec (xOy).
4)Montrer que les plans Pa contiennent (d) sauf un seul qu'il faut déterminer.
5)Calculer la distance de A à Pa et trouver les valeurs de a pour lesquelles Pa est tangent à S.

Mes réponses.
1)d[A;P]=[tex]\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex].P n'est pas tangent à S.
Remarque:P' d'équation 2x+y+1=0 est tangent à S.
2)(d) a pour représentation paramétrique en posant z=t:
[tex]\begin{cases}x=-2t+3\\y=4t-7\\z=t\end{cases}[/tex]
En remplaçant dans Pa:2(-2t+3)+(4t-7)+1+a(-2t+3+2t-3)=0[tex]\Longleftrightarrow[/tex]0+a.0=0[tex]\forall[/tex]a réel.
Aurais-je pu dire plus simplement que Pa est une combinaison linéaire de P et P'.
3)Pour l'intersection des plans Pa et (xOy) on résoud le système :
[tex]\begin{cases}2x+y+1+a(x+2z-3)=0\\z=0\end{cases}[/tex].
On trouve y=(-2-a)x+3a-1.C'est l'équation de toutes les droites contenues dans le plan (xOz) et passant par le point fixe (3;-7;0).Je ne suis pas sur de ma réponse.
4)Je ne sais pas.
5)Question facile,j'ai calculé la distance de A à Pa:d[A;Pa]=[tex]\frac{|5-3a]}{\sqrt{5a^2+4a+5}}[/tex] et
pour trouver les plans tangents j'ai égalisé à (V5) et trouvé a=0(qui était prévisible) et a=-50/16.
Voilà,c'est fini et je ne vous remercierai jamais assez de donner de votre temps.

Un grand bonjour à tous.

Je sollicite de votre part une aide pour cet exercice.
[tex](O;\vec i;\vec j;\vec k)[/tex] est un repère orthonormal.

1) Déterminer l'ensemble P des points de l'espace défini par le système:
[tex]\begin{cases}x&=t^2+1\\y&=-3t^2+2\\z&=2t^2+2 \end{cases}[/tex]  Avec [tex]t \in\,\mathbb{R}[/tex].

2)Meme question pour -1<=t<=3;

Ma solution.
1) D'habitude s'il n'y avait que t ça serait la représentation paramétrique d'une droite de l'espace mais là on a t².
Il est évident que le point A(1;2;2) est un élément de P.
J'ai aussi réussi à déterminer un deuxième point B en posant t=1.
B a donc pour coordonnées (2;-1;4).
Comme t²>=0 alors [tex]\begin{cases} x-1&\geq 0\\y-2&\leq 0 \\z-2&\geq 0\end{cases}[/tex]
alors [tex]\begin{cases} x\geq 1\\ y\leq 2 \\ z \geq 2 \end{cases}[/tex]
qui est une portion d'espace fermée.
J'ai ensuite posé t²=a DONC a>=0 ; le sytème devient :
[tex]\begin{cases}x&=a+1\\y&=-3a+2\\z&=2a+2\end{cases}[/tex]
Avec [tex]a\,\in\,\mathbb{R}^+[/tex].
P est donc la représentation paramétrique d'UNE DEMI-DROITE [AB) de vecteur directeur  U(1;-3;2).

2) Là je bloque! Je pense que c'est un segment de droite...

Merci.

Bonjour à tous.

Je vous soumets ma résolution d'un exercice.Ma démonstration m'a paru laborieuse (comportant surement quelques fautes)et surtout je n'ai pas pu solutionner la dernière question.
1) Montrez que :[tex]\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}[/tex].
    C'est la formule classique facile à démontrer.
    En déduire :[tex]\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+...+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}[/tex].
    Si [tex]\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}\longrightarrow\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\longrightarrow\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}-\binom{n}{p+1}[/tex].
   En posant
n=p+k+1 et donc k variant de 0 à n-p-1 ,j'ai développé les deux membres :
[tex]\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+...+\binom{n}{p}=\binom{p+2}{p+1}+..+\binom{n+1}{p+1}-\binom{p+1}{p+1}-.......-\binom{n}{p+1}[/tex].
Des termes s'annulant,j'ai transposé [tex]\binom{p+1}{p+1}[/tex] qui est égal à 1 et j'ai obtenu ce qui était demandé.
2)Calculez S1,S2,S3.
S1=1+2+3+..+n.
J'ai posé p=1 et [tex]\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+..+\binom{n}{1}=\binom{n+1}{1}[/tex] qui est bien la formule connue n(n+1)/2.
S2=1x2+2x3+3x4...+(n-1)n.
Là j'ai d'abord multiplié les deux membres de l'égalité par 2 et posé p=2:
[tex]2\binom{2}{2}+2\binom{3}{2}+........+2\binom{n}{2}=2\binom{n+1}{2}[/tex].
C'est S3=1²+2²+....+n² qui me pose problème.
Je n'y arrive pas.

2)calculez S1=1+2+...+n.En posant p=1
[tex]\binom{1}{1}+....+\binom{n}{1}=\binom{n+1}{1}[/tex].

En prévisualisant mon message j'ai constaté la disparition suivante.Veuillez m'excuser,c'est la 1re fois que j'utilise le Latex et suis nouveau parmi vous.
"j'ai transpose [tex]\binom{p+1}{p+1}[/tex] et j'ai obtenu ce qui etait demande.

2)calculez S1=1+2+3+..+n.C'était facile en posant p=1.
Voila,j'en ai terminé et je vous remercie pour tout le temps que vous me consacrerez.