Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Droites et plans dans l'espace.

Un grand bonjour à tous.

Je sollicite de votre part une aide pour cet exercice.
[tex](O;\vec i;\vec j;\vec k)[/tex] est un repère orthonormal.

1) Déterminer l'ensemble P des points de l'espace défini par le système:
[tex]\begin{cases}x&=t^2+1\\y&=-3t^2+2\\z&=2t^2+2 \end{cases}[/tex]  Avec [tex]t \in\,\mathbb{R}[/tex].

2)Meme question pour -1<=t<=3;

Ma solution.
1) D'habitude s'il n'y avait que t ça serait la représentation paramétrique d'une droite de l'espace mais là on a t².
Il est évident que le point A(1;2;2) est un élément de P.
J'ai aussi réussi à déterminer un deuxième point B en posant t=1.
B a donc pour coordonnées (2;-1;4).
Comme t²>=0 alors [tex]\begin{cases} x-1&\geq 0\\y-2&\leq 0 \\z-2&\geq 0\end{cases}[/tex]
alors [tex]\begin{cases} x\geq 1\\ y\leq 2 \\ z \geq 2 \end{cases}[/tex]
qui est une portion d'espace fermée.
J'ai ensuite posé t²=a DONC a>=0 ; le sytème devient :
[tex]\begin{cases}x&=a+1\\y&=-3a+2\\z&=2a+2\end{cases}[/tex]
Avec [tex]a\,\in\,\mathbb{R}^+[/tex].
P est donc la représentation paramétrique d'UNE DEMI-DROITE [AB) de vecteur directeur  U(1;-3;2).

2) Là je bloque! Je pense que c'est un segment de droite...

Merci.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Droites et plans dans l'espace.

Salut,

Bon, pour ta question avec le même changement de variable, tu obtiens
[tex]0\leq a \leq 9[/tex]
qui ne remet pas en cause ton dernier système :
[tex]\begin{cases} x\geq 1\\ y\leq 2 \\ z \geq 2 \end{cases}[/tex]

Par contre, je suis gêné par ta conclusion "portion d'espace fermée"...
Si je me limite pour faciliter la vision aux coordonnées x et y, j'ai portion de plan bornée par les droites x=1 et y =2, mais illimitée de sur [1;+oo[ et ]-oo ; 2].
D'ailleurs tu conclus à une demi-droite, laquelle n'est bornée que d'un côté...

Quant au segment de droite, a priori (sauf erreur comme dit freddy), je suis d'accord.
[AC] avec A(1;2;2) et C(10;-25;20) obtenu avec t=-3 et donc a = 9.

Pourquoi n'as-tu pas posé tout de suite ton changement de variable ? Le t², pour moi, n'est là que pour t'obliger à le faire et poser a >=0...
Qu'est-ce que ça change au problème, si je te donne, à la place de celui-ci, un énoncé dans lequel ne figure pas t² mais a, avec la condition [tex]a \in \mathbb{R}^+[/tex] pour la question 1. et [tex]a \in [0 ; 9][/tex] pour la question 2 ?

@+

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Re : Droites et plans dans l'espace.

Salut Yoshi.
J'ai bien saisi ta remarque et bien compris tes réponses.
Je te remercie de tout coeur.

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Re : Droites et plans dans l'espace.

PS:je n'ai pas trouvé dans la rubique "le latex"la manière d'écrire un système d'équations.Toutes mes excuses pour leurs réecritures.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Droites et plans dans l'espace.

Re,

A la fin de la rubrique Latex il est écrit que pour en savoir plus, il faut aller chercher ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

• On commence par \ begin{cases}, on termine par \ end{cases}, (sans espaces) après le \)

• Le retour à la ligne est déclenché par \\;

• Le & devant les = est là pour aligner verticalement les signes =.

Voilà,  pas besoin d'excuses ;-)

@+

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Re : Droites et plans dans l'espace.

C'est noté.Merci et bonne semaine.