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alain01

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Géométrie dans l'espace.

Bonjour à tous.
(O;i;j;k) est un repère orthonormal.(d)est une droite définie par le système d'équations:
[tex]\begin{cases}2x+y+1=0\\x+2z-3=0\end{cases}[/tex].
On veut déterminer tous les plans tangents à la sphère S de centre A(0;4;0) de rayon [tex]\sqrt{5}[/tex] et contenant (d).
1)Montrer que le plan P d'équation x+2z-3=0 n'est pas tangent à S.
2)On considère les plans Pa d'équation (2x+y+1)+a(x+2z-3)=0.Montrer que[tex]\forall[/tex]a[tex]\in\mathbb{R}[/tex](d) est contenue dans Pa.
3)Déterminer l'intersection de Pa avec (xOy).
4)Montrer que les plans Pa contiennent (d) sauf un seul qu'il faut déterminer.
5)Calculer la distance de A à Pa et trouver les valeurs de a pour lesquelles Pa est tangent à S.

Mes réponses.
1)d[A;P]=[tex]\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex].P n'est pas tangent à S.
Remarque:P' d'équation 2x+y+1=0 est tangent à S.
2)(d) a pour représentation paramétrique en posant z=t:
[tex]\begin{cases}x=-2t+3\\y=4t-7\\z=t\end{cases}[/tex]
En remplaçant dans Pa:2(-2t+3)+(4t-7)+1+a(-2t+3+2t-3)=0[tex]\Longleftrightarrow[/tex]0+a.0=0[tex]\forall[/tex]a réel.
Aurais-je pu dire plus simplement que Pa est une combinaison linéaire de P et P'.
3)Pour l'intersection des plans Pa et (xOy) on résoud le système :
[tex]\begin{cases}2x+y+1+a(x+2z-3)=0\\z=0\end{cases}[/tex].
On trouve y=(-2-a)x+3a-1.C'est l'équation de toutes les droites contenues dans le plan (xOz) et passant par le point fixe (3;-7;0).Je ne suis pas sur de ma réponse.
4)Je ne sais pas.
5)Question facile,j'ai calculé la distance de A à Pa:d[A;Pa]=[tex]\frac{|5-3a]}{\sqrt{5a^2+4a+5}}[/tex] et
pour trouver les plans tangents j'ai égalisé à (V5) et trouvé a=0(qui était prévisible) et a=-50/16.
Voilà,c'est fini et je ne vous remercierai jamais assez de donner de votre temps.

yoshi

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Re : Géométrie dans l'espace.

Salut,

Puisque personne ne se manifeste, je tente (à mes risques et périls) !
Mais je ne suis pas satisfait de ce que j'ai : quelque chose me dérange et je ne trouve pas vraiment où le raisonnement coincerait. Tu vas en juger.
Question 4 (les autres ça m'a l'air bon).
L'équation de (d) est donnée par le système :
[tex](d)\;:\;\begin{cases} 2x+y+1=0\\x+2z-3=0\end{cases}[/tex]
Comment savoir si une droite est incluse dans un plan ?
Pour moi, en cherchant si  [tex](d)\;\cap\;(Pa)=(d)[/tex].
Donc je vais tenter de résoudre le système :
[tex]\begin{cases}(2x+y+1)+a(x+2z-3)&=0\\ 2x+y+1&=0\\x+2z-3&=0\end{cases}[/tex]
soit :
[tex]\begin{cases}(a+2)x+y+2az-3a+1&=0\;\;(L1)\\ 2x+y+1&=0\;\;(L2)\\x+2z-3&=0\;\;(L3)\end{cases}[/tex]

Je calcule L1-(L2+L3) :
[tex](a-1)x+2(a-1)z-3(a-1)=0[/tex]
Si [tex]a \neq 1[/tex] alors je tombe sur [tex]x+2z-3=0[/tex] qui est l'équation d'un des plans du système donné au début...
(c'est bien ça qui me chagrine : je devrais réfléchir encore parce que je pense ne pas être loin de la vérité, mais hélas, j'ai d'autres fers au feu. Si j'ai l'illumination alors je reposterai... Dans l'attente, je suis désolé de te dire : peut-être que tu vas pouvoir tirer quelque chose de ça).

Pour moi, le problème se pose donc si a = 1.
Si a = 1, alors le plan (P1) a pour équation [tex]3x+y+2z-2=0[/tex]
Tout a l'air logique, mais ça n'en a donc que l'air...
Parce que je trouve un plan contenant (d)

@+

[EDIT]
Bizarre ! Bizarre !
Quelque chose cloche dans cet énoncé...
En effet, je lis :

On considère les plans Pa d'équation (2x+y+1)+a(x+2z-3)=0.
Montrer que [tex]\forall\;a\in\mathbb{R}[/tex], (d) est contenue dans Pa.

j'en conclus que la droite (d) est toujours incluse dans les plans Pa.
Or, je lis après :

Montrer que les plans Pa contiennent (d), sauf un seul

"Montrer que les plans Pa contiennent (d) (...)" vu la Q2, c'est enfoncer une porte ouverte...
"(...) sauf un seul qu'il faut déterminer" : là, il y a contradiction avec la Q2 !

Voyons ça par le calcul :
* Tous les plans (Pa) passent par A(3;-7;0), point de (xOy),
    [tex](a+2)x+y+2az-3a+1 = 0 \Leftrightarrow (a+2)3-7+3a-1=0 \Leftrightarrow 3a+6-7-3a+1=0 \Leftrightarrow 0=0[/tex]
* La droite (d) est bien incluse dans tous les plans Pa :
   [tex]\begin{cases}(a+2)x+y+2az-3a+1&=0\\ x=-2t+3\\y=4t-7\\z=t\end{cases}[/tex]
    d'où :
   [tex](a+2)(-2t+3)+4t-7+2at-3a+1=0 \Leftrightarrow -2at+3a-4t+6-4t+4t-7+2at-3a+1=0 \Leftrightarrow 0 = 0[/tex]
C'est bien exact.

Alors je ne comprends pas la phrase :

"Montrer que les plans Pa contiennent (d), sauf un seul."

Il y a contradiction !

Dernière modification par yoshi (01-08-2011 14:12:28)

totomm

Invité

Re : Géométrie dans l'espace.

bonjour,

Je ne vois pas bien non plus quel plan ne contiendrait pas (d). Tout le reste est bon.
Si on prend un exemple simple : plan x = 0 et y = 0. Leur droite commune est l'axe des z. Si on combine linéairement, le plan x + ay = 0 tourne autour de l'axe des z pour a de –l'infini à + l'infini. donc ???

yoshi

Modo Ferox

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Re : Géométrie dans l'espace.

Re,

Merci pour cet autre regard neuf...
Et qui, cerise sur le gâteau,  me conforte dans mes déductions.

Y a plus qu'à attendre l'intervention d'alain01.

@+

alain01

Membre

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Re : Géométrie dans l'espace.

Bonjour Yoshi et Totomm.

Je suis entièrement d'accord avec vous.
J'ai pris le problème à l'envers. J'ai écrit l'équation de tous les plans contenant (d).
L'équation d'un plan est :
ax+by+cz+d=0.
J'ai remplacé  a(-2t+3)+b(4t-7)+c(t)+d=0 et t(-2a+4b+c)+(3a-7b+d)=0
et
[tex]\forall\;t\;\in\mathbb{R}[/tex] l'équation est égal à 0 ssi
[tex]\begin{cases}-2a+4b+c=0\\3a-7b+d=0\end{cases}[/tex] et après simplification j'ai trouvé 2d(2x+y+1)+c(7x+3y+2z)=0 qui est une combinaison linéaire de P et P'.
J'ai égalisé avec Pa, fait la différence mais cela n'a rien donné.
Je pense qu'il y a erreur dans l'énoncé.

Un grand merci à vous!