Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
C'est tout de même assez facile comme exo:
On a f(f(x))=f(x). Donc pour tout y dans f([0,1])  f(y)=y. Mais par continuité de f,  on a f([01])=[a,b].
cas 1.  si a=b  alors  f est constante et c'est terminé.
cas 2  a<b. Montrons que a=0 et b=1  (et alors f=identité).
On montre que b=1  (pour a= 0  cela sera analogue. )
Supposons  b<1.  On sait que f= identité sur [a,b]  donc en particulier  f(b)=b  et f'(b)=1. 
Mais puisque f'(b)>1 on peut trouver h>0  assez petit tel que  f(b+h)>f(b)=b. Ce n'est pas possible puisque f([0,1])=[a,b].

Bonjour
Puisque [tex]\alpha\beta=6[/tex]  p(x) admet une factorisation de la forme
[tex]p(x)=(x^2+s1x+6)((x^2+s2x+3).[/tex] En redéveloppant on trouve 3 relations pour s1 et s2
dont  3 s1 + 6 s2=-15 et  s1+s2=-5 d'où  s1=-5  s2=0. 
Finalemeent 
[tex]p(x)=(x^2-5 x+6)((x^2+3)=(x-2)(x-3)(x-i \sqrt{3})(x+i \sqrt{3})[/tex]
Cela aurait été plus intéressant de ne pas avoir d'indication.

Bonjou
Oui c'est ça. Mis à part que le raisonnement me semble montrer que la condition est nécessaire. Donc dire qu'elle suffisante doit être séparé de la conclusion bien  que vérifier que la condition est suffisante est facile

Bonjour
Attention J'ai bien dit pour x>M. 
Pour ta seconde question c'est une intégration par parties.
Dans cette histoire tu pourrais faire un dessin et surtout tenir compte que [tex]\varphi[/tex] est nulle en dehors de [-M,M]

Bon c'est déjà un peu plus précis. Mais comme le dit Fred on n'a pas la problématique alors tu n'auras qu'une réponse  partielle.
Grosso modo tu as une fonction exponentielle qui décroit vers 0 et d'autre part une fonction sinusoïdale  qui oscille régulièrement avec une amplitude donnée. Je ne pense pas dire de bêtise en disant que tu auras une infinité discrète de solutions [tex]x_0,x_1,...,x_n,....[/tex]
la suite [tex](x_n)[/tex] vérifient  [tex]x_n[/tex] qui tend vers [tex]+\infty[/tex] quand n tend vers l'infini
La suite [tex](x_n)[/tex] étant quasi-périodique (attention c'est mon vocab perso)  c'est à  dire que la distance entre 2 termes consécutifs tend vers une constante. Il y a possibilités de donner un comportement asymptotique de [tex]x_n[/tex] du genre [tex]x_n =\alpha \pi + \dfrac{\gamma}{n}+\dfrac{\delta }{n^2}+o(1/n^2)[/tex]

ça  fait penser aux valeurs propres d'un  opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert.

Non pas forcément ça change rien de prendre 1/4 de disque comme dans ton énoncé. 
Dans l'intégrale double tu as une intégrale de 0  à pi/2  ou de 0 à 2pi  ça change rien à la convergence.

Fourier conjugué de f de [tex]\xi[/tex]  c'est Fourier de f de [tex]-\xi[/tex] .
Autrement dit tu  as pas exactement Fourier mais son symétrisé.
Le symétrisé de [tex]\delta_{-a}[/tex] c'est  [tex]\delta_{a}[/tex]  et c'est tout.

Bonjour
Encore une fois si tu passes en coordonnées polaires    [tex] \partial_1 f= r \cos(\theta)/r^2=1/r  \cos(\theta)[/tex]

[tex]| \partial_1 f|^p =1/r^p   |\cos(\theta)|^p. [/tex]
Quand tu intègres sur la boule unité par exemple     tu obtiens ds l'intégrale   [tex]=1/r^p   |\cos(\theta)|^p r dr d\theta.[/tex]
Le seul problème c'est pour la variable  r:  la convergence (ou non)  vient de la convergence (ou non )
de [tex]\int_0^1 1/r^p r dr =\int_0^1 1/r^{p-1}  dr[/tex]   

Essayes le cas limite p=2 !!!!!

Bonjour
Bon quelque part cette inégalité c'est ni  plus ni moins une conséquence directe de l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Si tu l'as vu c'est terminé. Taylor-Lagrange se démontre avec le théorème de Rolle (qui quelque part est un cas particulier des accroissements finis). Alors perso cette indication me laisse perplexe.
A mon avis il faut faire ça comme un élève de lycée. Tu étudies tout bêtement  les variations de f(x)=cos(x)-1+x^2/2  et de g(x)=x^4/24-f(x) (pour x>0  ça suffit à cause de la parité.
Tu sera amené à dériver un certain nombre de fois pour avoir le signe de  la dérivée,  en pensant à regarder ce qu'il se passe en x=0.

Bonjour
Je ne sais pas ce que propose Fred mais on dirait que c'est une variante. Je te propose de regarder aussi.
Sinon je reviens sur mon idée (à vérifier en détail) mais il me semble que ça  marche.
[tex]f'(x)=(1-x^n)/(1-x)=\sum_{p=0}^{n-1} x^p,
[/tex]
Cela s'intègre facilement.
Tu obtiens une nouvelle expression de f(x) à  un constante près.
Tu utilises f(1)=0   pour obtenir cette constante. Ensuite l'égalité cherché  c'est la valeur de f(0).

C'est vrai qu'on pourrait penser à faire une récurrence mais je ne suis pas sûr que c'est plus facile.

Bonjour
Si dans un ensemble de n+p+1  billes,  j'en ai   n  rouges et le reste bleues alors le nombre de sous-ensemble  de n  billes  vaut  $C_{n+p+1}^n$
Si on fait une partition de ces sous ensembles en fonction du nombres de rouges (ou de bleus) qu'il contiennent on obtient
$C_p^0 + C_{p+1}^1+...C_{p+n}^n$
Or ça c'est exactement la somme que tu as obtenu divisé par p!
D'où le  résultat  $p! C_{n+p+1}^n=  $.  D'autre part si tu dénombres parmi c'est sous-ensembles en fonction du nombres deceux qui on
n  rouges ,  puis n-1 rouges... tu trouves que ça fait $C_p^0+C_{p+1}^1+....=(n+p+1)! /n! /(p+1)$

Bonjour
je ne sais pas si tu as vu que tu as oublié le  r   qui  vient de $r\, dr\, d\theta$ (moi je l'avais mis)
et ça joue un rôle important dans la convergence de l'intégrale.

maintenant qu'elle est la limite de $r|\ln(r)|^p$  quand r tend vers zéro?