Fourier

mati · 26-10-2018 22:56:29

Bonjour
soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{iax}$ avec $a \in \mathbb{R}$.
On sait que $f \in S'(\mathbb{R})$, et on sait aussi que $F \delta_a= e^{-iax}$ et $\overline{F} \delta_a=f$.
Comment déduire $F f$ ?

Cordialement

Fred · 27-10-2018 07:00:24

Bonjour

Par la formule d'inversion de la transformée de Fourier ?

F

mati · 27-10-2018 14:04:03

Oui j'y ai pensé. Cette formule dit que
$$
f=(2 \pi)^{-n} \overline{F} (Ff)
$$
je n'arrive pas à l'appliquer pour trouver $Ff$ avec les éléments qu'on a. Pouvez vous m'aider? Comment utiliser le fait que $\overline{F} \delta_a =f$?

mati · 27-10-2018 18:00:13

on a $\delta_=(2 \pi)^{-1} \overline{F}F \delta_a$ et après je ne retrouve pas $Ff$ vu que $F \delta_a= e^{-iax}$ et pas $e^{iax}$.
Comment faire?

Fred · 27-10-2018 20:33:37

Si tu changes $a$ en $-a$....

mati · 27-10-2018 22:15:56

Oui alors on a
$$
\delta_{-a}=(2 \pi)^{-1} \overline{F}(e^{iax}) =(2 \pi)^{-1} \overline{F}f \implies \overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}.
$$
alors on a $Ff(-\xi)= (2 \pi) \delta_{-a}$. Le fait d'appliquer Fourier de $f$ au point $-\xi$ et non $\xi$ me perturbe. Comment on obtient $Ff$ au lieu de $\overline{F}f$?

mati · 28-10-2018 14:30:50

S'il vous plaît, aidez moi à conclure et trouver $Ff$.

aviateur · 28-10-2018 16:27:25

Bonjour
Pour faire simple, si je te dis que f(-u)=1+u pour tout u ds R a-t-on avis c'est quoi l'expression de f(u)?
Si on pose g(u)=f(-u), comment sont les graphes de f et g l'un par rapport à l'autre. Est-ce que cela ne te suffit pas pour deviner la réponse?
Sinon pour une distribution T, tu peux écrire [tex]<T,\phi>=<T(\xi),\phi(\xi)>[/tex] pour tout [tex]\phi[/tex] dans ....
Par définition son symétrisée c'est [tex]<T_s,\phi>=<T,\phi(-\xi)>[/tex] (je ne suis pas sûr de la notation mais ça doit ressembler à ça)
Si [tex]T_s[/tex] c'est F f, on connait T c'est [tex]2 \pi \delta_{-a}[/tex] , i.e

[tex]<T ,\phi> = 2\pi \phi(-a)[/tex] dc [tex]<T_s,\phi>=<T,\phi(-\xi)>=2\pi \phi(a)[/tex] dc [tex]T_s=Ff = 2 \pi \delta_a[/tex]

Maintenant je ne comprends pas très bien pourquoi tu t'embêtes avec ça. En principe on sait très bien ce que devient Fourier d'une fonction f multiplié par [tex]e^{i a x}[/tex]

En particulier on a [tex]e^{i a x}=e^{i a x}\times 1[/tex] Donc on voit très bien où se trouve le support de sa transformée de Fourier
par rapport au support de [tex]\delta_0[/tex]

Dernière modification par aviateur (28-10-2018 16:28:05)

mati · 28-10-2018 18:36:13

J'ai beau essayer de comprendre tout ça je n'y arrive pas.
En partant de la relation $\overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}$ comment on peut en déduire simplement $Ff$? S'il vous plaît merci.

aviateur · 28-10-2018 19:26:52

Fourier conjugué de f de [tex]\xi[/tex] c'est Fourier de f de [tex]-\xi[/tex] .
Autrement dit tu as pas exactement Fourier mais son symétrisé.
Le symétrisé de [tex]\delta_{-a}[/tex] c'est [tex]\delta_{a}[/tex] et c'est tout.

Dernière modification par aviateur (28-10-2018 19:28:05)

mati · 28-10-2018 20:07:49

Donc $\overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}$ implique que $Ff=(2 \pi) \delta_a$. Merci beaucoup.

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