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Bonjour,

il y a quelque chose qui m'échappe complètement dans cette discussion.
Le calcul analytique de cette intégrale me semble pourtant assez simple en passant par la fonction dilogarithme.
D'ailleurs, dès la première réponse (par Modo Ferox) l'affaire était réglée. Il n'y avait plus qu'à prendre en compte les bornes d'intégration pour arriver au résultat :
= (pi²/8)-1
Si je ne me tompe pas ... j'arrive à en douter au vu de tout ce qui a été écrit !

http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

il faut lire partout > ou =
pour étendre la validité de l'écriture pour n=1, ainsi que dans les cas de coefficients nuls.

Salut nabil10

Par hasard, est-ce que ce problème est posé à l'occasion d'une leçon sur les séries de Fourier ?
Parce qu'avec une décomposition en série de Fourier et la relation de Parseval, la démonstration est ultra simple ...

1/((1+t²)(t²+x²)) = [(1/(1+t²)) - (1/(t²+x²))]/(x²-1)
Chacune s'intègre avec un arctg

Bonjour Pauline,

Si j'ai bien compris, tu cherches à calculer les valeurs optimum des coefficients a, b et c de la fonction :
y=ax+b(c**(-x))
de telle sorte que la courbe représentative de cette fonction approche "au plus près" un ensemble de points donnés.
(avec la notation que tu as définie pour les puissances)
Il s'agit d'un problème difficile si on ne connait pas la valeur de c.
Par contre, si on connait c (ou si on se donne à priori une valeur probable de c ), il ne reste q'à calculer les coefficients a et b qui apparaissent linéairement dans la fonction.
Dans ce cas simple, il s'agit donc d'effectuer une régression linéaire, telle qu'on trouve la méthode dans tous les livres de statistiques.
Un résumé d'une méthode est présenté dans le paragraphe 5 de l'article suivant, accessible par le lien:
http://www.scribd.com/people/documents/ … jjacquelin
Dans la liste, sélectionner l'article: "Régressions coniques, quadriques, ..."
Dans ton cas, on peut encore faire plus simple en posant :
Y = y/x
X = (c**(-x))/x
(ne pas confondre les valeurs en majuscule avec celles en minuscule)
On remplace donc la liste donnée des (x,y) par la liste des (X,Y) que l'on calcule .
La relation linéaire s'écrit alors Y = a + b X
La régression linéaire à faire est alors classique pour calculer a et b.
(par exemple, les formules sont rappelées au paragraphe 3.1 de l'article indiqué ci-dessus.
Bien entendu, ceci suppose que l'on s'est donné une valeur de c. Si on n'est pas sûr de cette valeur, on recommence avec d'autres valeurs de c jusqu'à obtenir un résultat satisfaissant (une meilleure approche de la courbe calculée par rapport aux points donnés).
Plus compliqué : comment faire pour optimiser simultanément a, b et c lorsque l'on ne se fixe pas c à-priori ?
Il existe des méthodes de régressions non-linéaires plus ou moins compliqués (plutôt plus que moins !) décrites dans la litérature. Très généralement, elles font intervenir un processus de calcul par récurence ou par approximations successives.
Une méthode plus directe est décrite dans l'article "Régressions et équations intégrales" par le lien indiqué ci-dessus. Néanmoins, les exemples qui sont traités dans cet article pages 16 et 17 demanderaient une certaine adaptation préalable pour bien correspondre à la forme de fonction considérée dans le cas présent.

Bonjour Damien R

il faut comprendre que beaucoup de primitives de fonctions ne peuvent pas être écrites avec un nombre fini de fonctions élémentaires. C'est même le cas général. L'enseignement privilégie les fonctions dont les primitives sont relativement simples, s'écrivant avec un petit nombre de fonctions usuelles, ce qui donne une fausse idée de la réalité.
Pour des cas fréquents et moins simples, il faut faire appel à des fonctions dites "spéciales" qui sont enseignées à des niveaux supérieurs. Bien entendu, même si on connait un grand nombre de fonctions spéciales répertoriées, en pratique on tombe parfois sur d'autres intégrales qui ne s'expriment pas formellement avec les fonctions spéciales courantes.
La fonction "Beta incomplète" est une fonction spéciale bien connue, en particulier par les statisticiens. Pour cette fonction, il existe des tables qui étaient utilisées autefois. Maintenant, les logiciels spécialisés de maths possèdent cette fonction que l'on utilise aussi facilement qu'une fonction élémentaire comme exp, ln, sin, ou etc.
Mais dans de nombreux cas, on doit faire appel à des séries infinies pour l'écriture formelle de primitives "récalcitrantes". Et encore plus généralement en pratique, on répond à la question d'intégration par du calcul numérique.
Un article de vulgarisation sur les motivations et l'usage des fonctions spéciales :
http://www.scribd.com/people/documents/ … jjacquelin
Dans la liste, sélectionner la ligne : "Safari au pays des fonctions spéciales"

Pour préciser la réponse de Roro:
t(x) = a*primitives de (x^n)/(c-b*(x^n))
il s'agit d'une fonction "Beta incomplète"
Sa réciproque x(t) s'exprime donc formellement avec une fonction "argument Beta incomplète", que l'on rencontre par exemple en statistique et qui est implémentée dans les logiciels de calculs numériques spécialisés dans ce domaine des mathématiques.

Bonjour,

Une autre méthode que celles évoquées précédemment est décrite dans le document intitulé "Régression sinusoïdale", disponible à l'adresse suivante.
Il s'agit d'un procédé franchement différent de ceux traditionnellement évoqués dans les cas de régressions non linéaires. En effet il est non ittératif de par son principe même.
Voici le lien :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … msg-492313

Bonjour,

je suppose qu'il s'agit de
u = [(n+1)²/n(n+2)]^n
u = [(n²+2n+1)/(n²+2n)]^n
u = [1+(1/(n²+2n))]^n
[1+(1/(n²+2n))]^n < [1+(1/n²)]^n
donc 1 < u < [1+(1/n²)]^n
Dans la permière version de mon message, il y avait une grossière erreur dans les lignes qui suivaient. Cette erreur a été corrigée dans les lignes suivantes :
ln((1+x)^n) = n*ln(1+x)
avec x>0 on a : ln(1+x) < x
donc ln((1+x)^n) < n*x
(1+x)^n < exp(n*x)
avec x=1/n² :  [1+(1/n²)]^n < exp(n*(1/n²))
[1+(1/n²)]^n < exp(1/n)
donc 1 < u < exp(1/n)
lorsque n tend vers l'infini, exp(1/n) tend vers exp(0)=1
Donc u tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Bonjour,

je ne vois pas pourquoi la décomposition en fractions rationnelles ne marcherais pas. Mais ce doit être pénible car les racines sont des complexes.
En voyant que p²+p+2 = (p+(1/2))²+(7/4) le résultat devrait être de la forme :
exp(-t/2)*(A*cos(wt)+B*cos(wt))
avec A, B constantes à calculer et w²=7/4
Au fait es-tu sûr que le dénominateur est bien p²+p+2 ?
Ce serait bien plus facile si c'était p²+p-2.

Bonjour yoshi,
Oui, le défaut d'affichage reste le même pour le premier message de tibo.
Par contre, l'expression que tu as ré-écrite semble complète. Merci.