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#1 20-01-2010 07:06:00
- Picatshou
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calcul d'intégrale
Bonjour tout le monde , dans un exercice il est demandé de calculer l'intégrale suivante par deux méthodes :
[tex]\int^{1}_{0}(1/(1+t^2)^2)dt[/tex]
la première par calcul direct ,alors ,j'ai écrit :1/(1+t^2)=1/2[(1-t^2)/(1+t^2)^2 + 1/(1+t^2)]
et puis j'ai calculé l'intégrale et j'ai trouvé 1/4+([tex]\pi [/tex]/8)
et ce qui concerne la deuxième méthode il faut calculer lim [tex]\int^{1}_{0}[1/(1+t^2)(t^2+x^2)]dt[/tex]
x->1
je n'ai pas pu la calculer !!!!!!!!!!!
est ce quelqu'un puisse m'aider ?
Merci d'avance!
Dernière modification par Picatshou (20-01-2010 08:05:04)
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#3 20-01-2010 11:33:00
- Picatshou
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Re : calcul d'intégrale
salut, merci pour la réponse mais après le passage à la primitive ontrouve 1/(x^2 -1)[pi/4 -arctg(1/x)] et si on passe a la limite lorsque x tend vers 1 on trouve une forme indéterminée c'est mon problème dès le début ?!
merci pour ce qui puisse m'aider!
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#6 20-01-2010 15:56:11
- freddy
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Re : calcul d'intégrale
Salut,
tu t'es un peu trompé sur le calcul, tu devrais avoir le résultat suivant, fonction de x :
[tex]\frac{\pi/4 - (1/x)\times \arctan(1/x)}{x^2-1}[/tex]
En faisant un changement simple de variable (genre u=1/x) et en bidouillant un peu le dénominateur, tu vas te ramener au calcul de la dérivée de la fonction[tex]u\arctan u[/tex] en 1, et retomber sur tes pattes.
Sinon, fais comme te dit Fred, un petit DL(1) ... et hop, le tour est joué.
C'est bon ?
PS : je développe pour mon bonheur :
[tex]\frac{\pi/4 - u\times \arctan(u)}{(1/u)^2-1}= \frac{u^2}{u+1}\times \frac{u\times \arctan(u) - \pi/4}{u-1}[/tex]
Donc quand u tend vers 1, on a bien [tex]\frac{1}{2}\times (u\times \arctan(u) )'[/tex] au point u = 1, soit
[tex]\frac{1}{2}\times (\arctan(1) + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}[/tex]
Dernière modification par freddy (20-01-2010 19:33:35)
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#8 20-01-2010 21:50:54
- Picatshou
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Re : calcul d'intégrale
salut tout le monde , je trouve encore la même difficulté dans le calcul de :
lim [tex]\int^{\ + infinity}_{0}[1/(1+t^2)(t^2+x^2)]dt[/tex]
x->1
en effet par le calcul direct j'ai trouvé pi/4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!???????????????????????????????????????????
Est ce que quelqu'un puisse m'aider ?
Merci beaucoup d'avance!
Dernière modification par Picatshou (20-01-2010 21:53:32)
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#10 20-01-2010 23:44:41
- freddy
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Re : calcul d'intégrale
Re,
on a :
[tex]F(t;x) = \int\frac{dt}{(1+t^2)(t^2+x^2)}=- \frac{x\arctan(t)-\arctan(t/x)}{x-x^3}[/tex]
soit :
[tex]F(t;x) = \frac{\arctan(t)-(1/x)\arctan(t/x)}{x^2-1}[/tex]
Donc, puisque x > 0, qd t tend vers +infini, F(t,x) tend vers [tex]G(x)=\frac{\pi}{2}\times \frac{1-1/x}{x^2-1}=\frac{\pi}{2x}\times \frac{1}{x+1}[/tex] et F(0,t) = 0
Conclusion : [tex]\lim_{x \to 1} G(x) = \frac{\pi}{4}[/tex]
QED
Dernière modification par freddy (20-01-2010 23:45:49)
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#11 21-01-2010 11:33:01
- freddy
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Re : calcul d'intégrale
bonsoir Freddy, si ne vous dérange pas je veux savoir la méthode de résolution avec le DL. j'ai essayé mais je n'ai rien trouvé. Merci pour la rectification et la réponse!
Salut,
c'est très proche de ce que j'ai fait.
Tu considères la fonction (1/x)(arctan(1/x), dérivable au point x = 1.
Au premier ordre et au voisinage de 1, tu as
[tex](\frac{1}{x})\arctan(\frac{1}{x}) = \arctan(1) + (\frac{1}{x}-1)[(-\frac{1}{x^2})\arctan(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})(-\frac{1}{x^2})/(1+\frac{1}{x}))]_{x=1} + (1/x-1)\epsilon(1/x)[/tex]
[tex]= \frac{\pi}{4} + (\frac{1}{x}-1)(-\frac{\pi}{4} -\frac{1}{2}) + (1/x-1)\epsilon(1/x)[/tex]
Quand tu remplaces ceci dans l'expression du post #6, tu obtiens la simplification dont tu as besoin.
C'est OK ?
PS : si Fred veut corriger qques erreurs de notations, je n'y vois aucun inconvénient, bien au contraire.
Dernière modification par freddy (21-01-2010 19:15:14)
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