Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas où f est seulement localement lipschitzienne en la deuxième variable, dit que pour tout problème de Cauchy $g(x_0) = y_0$ $g'(x) = f(x,g(x))$, il y a une unique solution au moins définie sur un voisinage de $x_0$, donc pas forcément $[0; +\infty [$.
Pour étendre le domaine de définition et l'unicité, on peut essayer de récupérer la lipschitziannité globale, ou bien appliquer le théorème d'explosion en temps fini, ou encore les fonctions de Lyapunov.
Dans ton cas c'est la lipschitziannité uniforme qui semble le plus direct à avoir, vois tu pourquoi ?

Tu as la réponse sous les yeux ^^ Tu n'as pas besoin de montrer que $C \not \subset Y$ ou $Y \not \subset C$ (d'ailleurs je ne sais même pas si ça c'est vraie), tout ce qui nous intéresse c'est que $C \cap Y \not = \emptyset$, en fait c'est équivalent, $x^2+y^2=a$ possède une solution si et seulement si $C \cap Y \not = \emptyset$.
Et l'argument que $C \cap Y$ n'est pas vide est le même que pour les fleurs ou l'huile : il y a beaucoup trop de carré dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ pour qu'il ne s'en trouve pas dans $Y$.

Donc tu n'as pas compris les analogies ^^ c'est pas grâve, je vais être un peu plus "concret" : tu as deux ensembles, un premier que l'on va définir ainsi : $C := \{ c \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, \exists x \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, c=x^2 \}$ et un deuxième $Y := \{-x^2+a, x \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \}$.
On a $Card (C) = Card (Y) = 4$ et $Card ( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) = 7$. Est-ce que tu vois le liens avec mes deux énigmes maintenant ?

Bonjour,
C'est un joli exercice je trouve ! La question sur laquelle tu bloques en particulier.
Je vais te guider : C'est une question de remplissage... Imaginons que tu ais un récipient contenant 11 mètres cube d'un mélange composé d'eau et d'huile, et tu sais qu'il y a 6 mètres cubes d'huile dans ce mélange, peux tu récupérer de ce mélange 6 mètre cube d'eau pure ?
Ou encore :
Tu as un bouquet de 11 fleurs, et tu sais qu'il y en a 6 parmi elle qui sont bleues, que peux tu dire d'un ensemble quelconque constitués de six fleurs choisis parmi ces 11 fleurs ?

Bonjour,
ça ce sont juste des résultats sur les notions d'injectivités, surjectivité et bijectivité. Il suffit de dire que puisque $\phi$ est injective, $\phi_1$ est bijective car surjective et injective. Ça suffit, parce qu'il est bien connu que si $f : A \to B$ est injective alors $f_1 : A \to f(B)$ est bijective. Je te propose une rédaction possible :
On pose $\phi_1 : \begin{array}[t]{ccc}
\mathbb{Z} & \to & \phi(\mathbb{Z}) \\
k & \mapsto & x^{k}
\end{array}$
Puisque $\phi$ est un morphisme injectif, que $Ker( \phi_1 ) = Ker( \phi )$ et que $Im( \phi )= Im( \phi_1)$, $\phi_1$ est un morphisme bijectif, donc un isomorphisme.

Le dictionnaire de ton correcteur n'est peut-être pas à jour, ça arrive. Par exemple le correcteur automatique de ce site ne reconnais pas le mot "Wronskien" qui est pourtant un des trucs de bases des équation différentiels linéaires (et c'est pas ""récent"" pourtant le Wronskien, ça date du 19ème siècle). Ou encore le nom de Maryam Mirzakhani une mathématicienne (la 1ère !! et la seule jusqu'à maintenant...) à avoir obtenue la médaille Fields en 2014, tu me diras c'est parce que c'est un nom de famille, eh bien non, parce que ce genre de dictionnaire prend aussi en compte les nom de familles, par exemple celui d'Henri Poincaré est reconnu par celui de Bibmath.

Bonjour,
C'est presque ça. La bonne réponse est plutôt $F^E = \{ \{(1,a),(2,a),(3,b) \},... \}$. Mais en pratique on définit plutôt $F^E$ par l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$, ou bien par $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Je suppose que quand tu parles de famille indexée tu fais allusion à $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Eh bien en fait c'est la même chose à peu de choses près :
Qu'est ce qu'une fonction ? Ces deux écritures fournissent deux réponses, ou plutôt deux point de vues pour décrire, au final, le même objet (quand je dit "même objet" je veux dire que les deux descriptions ont les mêmes propriétés).
En effet, si pour tout $x \in E$ tu connais l'image associée $f(x) \in F$ alors tu connais entièrement ta fonction !
Ainsi, que ce soit la liste $(f(x))_{x \in E})$ ou l'ensemble $\{ (x,f(x)) , x \in E \}$ représente tout deux la fonction $f$.
La première représentation est ce qu'il y a de plus proche, à mon sens, de la façon dont on se conçoit dans un premier temps une fonction :
Une fonction peut se voir comme une boite noire, dont on rentre une valeur ($x \in E$) et dont il en ressort une autre ($f(x)$), on cherche donc le terme indicé par $x \in E$.

L'autre représentation de $f$ correspond en fait à son graphe !
Si tu prends par exemple la fonction $f(x) = x$, en posant $R = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(-\pi, -\pi),... \} = \{ (x,x) , x \in \mathbb{R} \}$ et en posant sur $\mathbb{R}^2$ chacun des éléments de $R$ tu verras apparaitre le graphe de la fonction identité (tu verras la droite de coefficient directeur 1 passant par l'origine).

Bonsoir,
Pour le cas $\frac{a_n}{S_{n^2}}$ on peut rien dire car la série peut être ou ne pas être convergente : $a_n = n$ et $a_n = \frac{1}{n}$.
Pour le cas $\frac{a_n}{S_n}$ je n'ai pas trouvé de cas où la série associé convergerait donc je suppose qu'il faut montrer qu'elle diverge, j'ai réussis à montrer que c'était le cas si la suite est de signe constant à partir d'un certain rang et qu'il existe $M \in \mathbb{N}$ tel que $a_n = O(M)$, mais pour le cas où $a_n$ n'est pas bornée je n'ai pas trouvé.

Et il n'y a aucune autre hypothèse sur $a_n$ hormis que sa série diverge ? (à termes positifs par exemple...)

Pourquoi cette obsession pour savoir si quelqu'un a déjà écrit cette formule, peut-être que oui, peut-être que non... Ce qui compte c'est ce que tu en fais, son efficacité. Qui plus est chercher si quelqu'un a déjà utilisé cette formule serait perdre énormément de temps (je dit le mot "perdre" parce que comparé au temps que tu mettrais à chercher ce genre de chose, le résultats ne serait probablement pas à la hauteur du temps passé dessus, à moins que tu ne te mettes vraiment dans la littérature de la théorie des nombres, mais là ce ne serait pas pour trouver l'origine d'une formule mais dans l'idée de bien maîtriser le domaine).
Évite de raisonner comme ça, en générale lorsqu'on fait des maths c'est pour le plaisir et c'est pas grave si quelqu'un l'a déjà fait avant ! Ce genre de chose arrive, même dans le monde des chercheurs en mathématiques. Va jusqu'au bout de tes idées et si tu as une intuition de quelque chose mais que tu n'arrives pas à le formuler rigoureusement (c'est souvent comme ça qu'apparaisse les idées, elles ne sont pas très rigoureuses au début, plutôt floue, mais en y passant du temps il arrive qu'on la concrétise et d'autre fois on s’aperçoit qu'elle n'aboutit à rien) note là et cherche de la littérature dans ce domaine ci.

Content d'avoir pu aider

C'est l'objectif oui, si tu arrives à montrer que $(nu_{n+1})$ converge tu as ton résultat (par l'absurde).