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SimbaLeRoi

Invité

Localement / globalement Liptschitizienne

Bonjours j'ai l'impression de confondre ses deux notions, esque quelqu'un peu m'expliquer si ce que je dis est coherant, merci.

Considerons f(t,y)=cos(y)/t et l'Ed y'=f(t,y(t))

J'aimerais montrer qu'il exxiste une unique solution globale sur ]0,+inf[

Soit T>0 pour tout t dans [T,+inf], la dérivé partielle de f par rapport a y est borné, donc f est localement Liptschitzienne par rapport a y et unif par rapprort t ( c'est bien local et non globale ? )
Par le theoreme de cauchy-Lipstchitz: il existe une unique solution maximal (y,]0,+inf[) comme ]0,+inf[ est tout l'ensemble d'etude, alors cette solution est global.

Es correct et bien rédiger ?

Je vous demende car mon prof de TD a dis qu'elle etait globalement liptschitzienne dans sa correction et sa me semble etrange .

Merci a vous

SimbaLeRoi

Invité

Re : Localement / globalement Liptschitizienne

J'ai oublier de dire que la condition initiale est fixé.

Maenwe

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Re : Localement / globalement Liptschitizienne

Bonsoir,
le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas où f est seulement localement lipschitzienne en la deuxième variable, dit que pour tout problème de Cauchy $g(x_0) = y_0$ $g'(x) = f(x,g(x))$, il y a une unique solution au moins définie sur un voisinage de $x_0$, donc pas forcément $[0; +\infty [$.
Pour étendre le domaine de définition et l'unicité, on peut essayer de récupérer la lipschitziannité globale, ou bien appliquer le théorème d'explosion en temps fini, ou encore les fonctions de Lyapunov.
Dans ton cas c'est la lipschitziannité uniforme qui semble le plus direct à avoir, vois tu pourquoi ?

SimbaLeRoi

Invité

Re : Localement / globalement Liptschitizienne

Bonjour et merci de votre reponse.

Donc ici elle est globalement liptchitzienne sur [T,+inf[×R pour tout T>0. Je peux dire qu'elle est localement liptchtzienne sur ]0,+inf[ ? Car pour tout point y de R je peux trouver une boule fermer B contenant y, tel que pour tout réel strictement positif T, f sois liptzitienne par a la seconde variable uniformément par rapport a la première sur [T,+inf[xB ?
(Cette partie c'est surtout pour voir si j'ai bien compris la différence entre globalement et localement)

Mais la bonne façon de rédigez serais :
f est globalement liptschitzienne par rapport a la seconde variable et uniformément par rapport a t sur [T,+inf[xR pour tout T>0 , les solution du probleme de cauchy sont donc unique sur [T,+inf[. Avec un raisonement par l'arbusrde on montre que les solution son unique sur ]0,+inf[
En effet soit T>t>0 et (z , [t, +inf[) (z, [T,+inf[) deux solution locale qui diffère sur [t,T[, par le point précédent cela est absurde car la solution est unique sur [a,+inf[ pour tout réel a>0. Donc la solution est unique et globale(definit sur ]0,+inf[)

Je ne connais pas les deux théoreme cité désoler. J'espère que là j'ai compris ^^'.

Maenwe

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Re : Localement / globalement Liptschitizienne

Bonjour,
Une première chose : il n'y a pas besoin de parler d'uniforme continuité en la première variable, les hypothèses sont seulement lipschitzienne en la deuxième variable et continue sur l'ouvert sur lequel est défini $f$.
La deuxième chose c'est que $f$ est en fait définie sur $\mathbb{R}^2$ et est globalement lipschitzienne en la seconde variable sur $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}^2$ est bien un ouvert). Donc d'après le théorème de Cauchy-Péano il existe une unique solution maximale sur $\mathbb{R}$ à tous problèmes de Cauchy associé à $f$.
Quant à ta preuve, d'une part tu ne peux appliquer le théorème de Cauchy pour une fonction $f$ définie sur un ensemble qui n'est pas un ouvert, en outre $[T, +\infty[ \times \mathbb{R}$ n'est pas un ouvert. D'autre part, toute cette partie là : "En effet soit T>t>0 et (z , [t, +inf[) (z, [T,+inf[) deux solution locale qui diffère sur [t,T[, par le point précédent cela est absurde car la solution est unique sur [a,+inf[ pour tout réel a>0. Donc la solution est unique et globale(definit sur ]0,+inf[)" est douteuse.