Forum de mathématiques - Bibm@th.net

JohnSmith

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Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n

Bonjour ,

Je suis bloqué à une question ( qui est un lemme à démontrer dans un sujet d'annale du second concours des ENS) qui revient à la suivante:
pour $\alpha$ fixé dans $\mathbb{R}$ montrer qu'il existe une suite de rationnels de la forme $\frac{q_{n}}{2^n}$ tel que $\alpha$ soit limite de cette suite.

Je me doute bien qu'il faille utiliser la densité des rationnels dans les réels et/ou la partie entière mais je n'arrive pas à aller beaucoup plus loin malheureusement.

Merci d'avance de vos réponses.

Bien Cordialement.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n

Bonjour

  Est ce que tu sais démontrer que les nombres décimaux sont denses dans les réels ? La preuve est exactement identique en remplaçant $10^n$ par $2^n$.

F

JohnSmith

Membre

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Re : Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n

Bonjour,

J'ignorais que les décimaux étaient denses dans dans les réels, je vais regarder la preuve dans ce cas, merci pour cette indication.

Bien Cordialement.

Maenwe

Membre confirmé

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Messages : 409

Re : Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n

Ah bah si tu ne savais pas ça, je suppose que tu ne savais pas non plus que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(\frac{\lfloor 10^nx \rfloor}{10^n})$ converge vers $x$. Et c'est aussi le cas si on remplace $10$ par $k \in \mathbb{R}_+^*$. Du coup ça répond tout à fait à ta question je crois ^^

Dernière modification par Maenwe (01-03-2020 15:03:55)