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Bonjour
Le sujet que vous proposez, m'intéresse.Pourriez-vous svp me dire dans quel contexte avez vous vu ce théorème ?
Merci d'avance

Bonjour, merci encore pour l'éclaircissement!

Concernant la base de Schauder  $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ qui est une famille dénombrable et orthonormée donc c'est une famille séparable donc dense.
d’où la fermeture topologique $Vect(e_i) = H$.

Ce qui signifié on a une base de vecteur infinie et l'on se "raméne" à un système dénombrable donc à un système finie.

Est ce que je suis sur la bonne direction?

Bonjour Yassine
Je ne comprends pas à quoi correspond $x = x_{||} +x^|$
Car un espace de Hilbert H s'écrit de la facon suivante
Soit $F$ un sous espace vectoriel de H alors H est la somme directe de F et F orthogonal.
Je pense que je mélange tout et je ne comprends pas $x_{||}$.
Merci

Bonjour
Sauf erreur de ma part, je comprendrais plus si la majoration était $|xh(x)|^p\leq\frac{1}{x^{3p}}$
Dans le cas contraire, je ne comprends pas la majoration de Fred.

Bonjour,

Je ne suis pas sur de ce que je fait ie :
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt$
$\displaystyle (Tf)(x) = \int_{0}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

J'exprime maintenant la différence à partir $\int_0^x = \int_0^{x'} + \int_{x'}^x$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x'} K(x,t)f(t)dt + \int_{x'}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

On regroupe donc les termes,
$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x} K(x,t)f(t)dt - \int_{0}^{x} K(x',t)f(t)dt  - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

$\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') = \int_{0}^{x}( K(x,t) - K(x',t))f(t)dt - \int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt$

Passons à la majoration :
$\displaystyle |(Tf)(x) - (Tf)(x')| \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |-\int_{x}^{x'} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq |\int_{0}^{x}(K(x,t) - K(x',t))f(t)dt| + |\int_{x'}^{x} K(x',t)f(t)dt|$
                                              $\displaystyle \leq \int_{0}^{x}sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t))|sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt + |\int_{x'}^{x}sup_{t\in [0,1]}|K(x',t)|.sup_{t\in [0,1]}|f(t)|dt$

d’où $\displaystyle (Tf)(x) - (Tf)(x') \leq |1-0|.||f||_{\infty} sup_{t\in [0,1]}|(K(x,t) - K(x',t)) + |x-x'|.||K||_{\infty}.||f||_{\infty}$

Je ne suis pas trop alaise avec ce que j'ai fait au niveau des sup sous le signe intégrale.

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La suite de l'exercice est de montrer que T est compact.
Je vois deux approches :
1iere approche :
1 _ soit suite $(f_n)$ inclus dans la boule unité
2 _Il faut donc montrer que $(Tf_n)$ possède une sous-suite
3_ Il faut montrer que $(Tf_n)$ est équicontinue et utiliser le Théorème d'Ascoli.
4 _Je pense qu'il faudra conclure avec Bolzano-Wieistrass.

2ieme approche
1 _ On vérifie que $K$ est équicontinue
2 - On vérifie de $Tf$ est uniformément continue
3 _ On vérifie que $Tf$ est linéaire
4 _ on montre que la boule $B_{C([0,1])}$ est bornée dans $C([0,1])$ , on sait que l'opérateur est compact si l'image par T de la est relativement compacte.

Pouvez vous me dire quelle approche prendre?

Merci d'avance

Oui continue!
D'accord merci pour l'indication. Je vais travailler dessus et je reviens pour le resultat.
Encore une fois merci Yassine.

Je suis d'accord avec toi. erreur de ma part.

Je ne vois donc pas comment majorer l'expression suivante  :
$\displaystyle \frac{|z|^2}{2n^2}\sum_{k\geq 2}\frac{2}{k}\frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} \leq \frac{|z|^2}{2n^2} \frac{1}{1-|z|n^{-1}}$

Merci Yassine de votre aide.

Avant de passer à la majoration de $f'(t)$, je veux être sur de comprendre l'utilisation de l'inégalité triangulaire : $|1+t| \ge 1-|t|$.

On cherche un majorant de $|\frac{1}{1+t}|$, donc il faut trouver un minorant de $|1+t|$

D’après l'inégalité triangulaire : $|a-b| \geq |a| - |b|$

Donc $|1+t| = |1 - (-t)| \geq 1 - |(-t)| = 1 - |t|$, d’où $ |1+t| \geq 1-|t|$

On a $|t| \le |x| \le 1/2$, alors $|1+t| \geq 1 - \frac{1}{2} = 1$ ; d’où $|1+t| \geq \frac{1}{2}$

Je continue par la majoration de $|f'(t)| = \frac{|t|}{|1+t|}$

D’après l'inégalité des accroissements fini :
Si $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, alors $|f'(x)| \leq sup_{x\in ]a,b[} |f'(x)|$

On a vu que $|1+t| \geq \frac{1}{2}$ donc

$\displaystyle |f'(x)| \leq sup_{t\in ]0,1/2[} \frac{|t|}{|1+t|} = (1/2)/(1/2) = 1$ donc $|f'(x)| \leq 1$

A ce niveau, je ne trouve pas le résultat souhaité qui normalement $|f'(t)| \leq 2|x|$

[0,x] est un disque de C.

Si je pose $f(t) = t-log(1+t)$ pour $t\in C-\lbrace -1 \rbrace$

On utilise le théorème des accroissement fini et on a $|f'(t)| \leq sup_{t\in [0,x]} |f'(t)|$
Donc $|t-log(1+t)| \leq |t| sup_{t\in [0,x]} |f'(t)|$

Je ne vois donc pas comment arriver à $|f'(t)| \leq 2 |x|$

merci d'avance