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sbl_bak

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Petite majoration

Bonjour,

Dans la suite de mon post sur la majoration; j'en fait plein!

Peut-on majorer cette somme par 1 ; $\sum_{k\geq2} \frac{2}{k} \leq 1$

Yassine

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Re : Petite majoration

Bonjour,
Est-ce que  $\displaystyle \sum_{k\geq2} ...$ veux dire $\displaystyle \sum_{k = 2}^\infty ...$ ?

sbl_bak

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Re : Petite majoration

oui on a $\displaystyle \sum_{k = 2}^\infty ...$

Yassine

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Re : Petite majoration

Est-ce que tu sais que la série harmonique est divergente : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = +\infty$ ?
De plus, le premier terme dans l'expression que tu as écrite (pour $k=2$) vaut $1$. Donc, ton expression vaut au moins $1$ auquel on ajoute des éléments positifs, comment espérais-tu la majorer avec $1$ ?

sbl_bak

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Re : Petite majoration

Je suis d'accord avec toi. erreur de ma part.

Je ne vois donc pas comment majorer l'expression suivante  :
$\displaystyle \frac{|z|^2}{2n^2}\sum_{k\geq 2}\frac{2}{k}\frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} \leq \frac{|z|^2}{2n^2} \frac{1}{1-|z|n^{-1}}$

Dernière modification par sbl_bak (01-11-2016 18:19:25)

Yassine

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Re : Petite majoration

J'imagine que tu veux dire comment montrer le résultat en question (tu présentes une inégalité et non une expression à majorer).
Il faut remarquer deux choses :

• $\displaystyle \frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} = (|z|n^{-1})^{k-2}$

• $\frac{2}{k} \le 1$

Et tu devrais normalement pouvoir y arriver

sbl_bak

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Re : Petite majoration

$\displaystyle \frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} = (|z|n^{-1})^{k-2}$ pour $k \geq 2$ et $|z|< 1$
d’où l'expression  de la suite géométrique:
$\displaystyle \sum_{k\geq 2}(|z|n^{-1})^{k-2} = \frac{1}{1-|z|n^{-1}}$ .

$\frac{2}{k} \leq 1$, d'accord pour ça.

Ce qui me pose problème c'est que le $2/k$ est dans la somme qui dépend de l'indice $k$, non? d’où mon premier post!

Par contre je ne comprends ce que tu as écris : "présentes une inégalité et non une expression à majorer"

Si je traduis ce que tu a dis j'obtiens l'expression suivante :

$\displaystyle \frac{|z|^2}{2n^2}\sum_{k\geq 2}\frac{2}{k}\frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} \leq \frac{|z|^2}{2n^2}\sum_{k\geq 2}\frac{|z|^{k-2}}{n^{k-2}} = \frac{|z|^2}{2n^2} \frac{1}{1-|z|n^{-1}}$

Est ce correct?

Yassine

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Re : Petite majoration

Ce que je disais, c'est que la question n'est pas précise.
Si on demande comment majorer $A \le B$, il peut y avoir deux sens :
- comment montrer qu'effectivement $A \le B$
- peut on trouver un majorant de $B$.