Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci beaucoup fred j'ai trouve

Salut chama . par rapport a ton exercice . utilise la formule:  arctgx - arctgy = arctg((x-y)/(1+xy)) et la tu simplifie l'expression de Un
Tu obtiendras Un = arctg(a/(1+n^2 + na) <= arctg(a/(1+n^2)) car la fonction arctg est croissante sur son DF
Soit f(y) = arctg(y). Soit x pris dans [0, infini]  . poson I= [0, x]  f est continue et dérivable sur I  et pour tout y pris dans I ,
f'(y) <= 1  donc f(x) - f(0) <= 1(x-0) ce qui donne f(x)<=x.

Donc pour notre cas, arctg(a/(1+n^2))<= a/(1+n^2) et donc
Un <= a/(1+n^2).

Bnjour a tous et merci beaucoup pour l'indication

salut tout le monde et merci beaucoup pour vos demonstrations

Salut a toi  yassine

« E » designe la fonction partie entiere
Ce que j’ai fait :
Pour la question 2,
j’ai essaye de passer par contraposeen voulant montrer que :       (a>b)→(x<a et x>b)
je voulait en effet utiliser l’équivalence :  p→q ≡non(q)→non(p) en prenant p comme (x>b→x≥a) et q comme a≤b.
Mais ce n’etai pas logique car j’ai fait une mauvaise transformation de la question en quantificateurs mathematiques.
Pour la question 1,
J’ai essaye de montrer que E(E(nx)/n )≥E(x)et E(E(nx)/n )≤E(x)  pour  conclure .
Voici a quoi ca ressemble
   ∀n∈Z et ∀x∈R,
nx-1<E(nx)≤nx
                                                                    →x-1/n<E(nx)/n≤x
→E(x-1/n)<E(E(nx)/n )≤E(x)
Donc   E(E(nx)/n )≤E(x)
Pour la question 3, je n’ai aucune idee de comment utiliser la densite de Q dans R.
Merci d’avance de m’aider

merci beaucoup fred