Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#3 23-01-2017 08:25:29
- kritikos
- Membre
- Inscription : 03-09-2016
- Messages : 41
Re : inégalité des accroissements finis
Salut chama . par rapport a ton exercice . utilise la formule: arctgx - arctgy = arctg((x-y)/(1+xy)) et la tu simplifie l'expression de Un
Tu obtiendras Un = arctg(a/(1+n^2 + na) <= arctg(a/(1+n^2)) car la fonction arctg est croissante sur son DF
Soit f(y) = arctg(y). Soit x pris dans [0, infini] . poson I= [0, x] f est continue et dérivable sur I et pour tout y pris dans I ,
f'(y) <= 1 donc f(x) - f(0) <= 1(x-0) ce qui donne f(x)<=x.
Donc pour notre cas, arctg(a/(1+n^2))<= a/(1+n^2) et donc
Un <= a/(1+n^2).
Dernière modification par kritikos (23-01-2017 08:28:40)
Hors ligne
#4 23-01-2017 09:50:58
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : inégalité des accroissements finis
Bonjour,
Je pense que la solution évoquée est plus simple que ça : l'inégalité des accroissements finis dit que si $|f'(x)| \le M$ sur $I$ pour un certain $M > 0$ alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$.
Ici, $I=[n,+\infty[$ (je suppose $a \le 0$) et $f(x)=\arctan(x)$, soit $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$et donc $f'(x) \le \dfrac{1}{1+n^2}$ sur $I$.
P.S. L'identité remarquable de l'arc tangence est un peu plus compliquée. Voir ici au paragraphe "Formule remarquable"
Hors ligne