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Bonsoir Roro,
s'il vous plaît, pourquoi si \cos(\alpha)= 0 alors \sin(\alpha)=0?
Aussi, pourquoi est-ce qu'ils ont précisé que \alpha doivent être les racines positives de l’équation? pourquoi précisément positives?
Pour l'erreur de signe, non j'ai bien recopié l'énoncé. Pourquoi pensez vous qu'il y' ait une erreur de signe?

mais ils ne donnent pas ce lien. Comment le deviner? D'habitude, on prend [tex]\lambda = \alpha^2[/tex], mais ils ne disent pas cela dans l'énoncé, donc comment le deviner tout seul?
Et pour ma question 2 svp? Pourquoi on peut diviser sur[tex] \cos(\alpha)[/tex]?

Merci, j'ai bien compris.

J'ai une autre question. Je cherche à trouver les réels [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex], tels que
[tex]C_1(1 - 2 e^{2 \pi \alpha}) + C_2 (1- e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
et
[tex]C_1 (1- e^{2 \pi \alpha}) - C_2 (1 + e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
où [tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex].
On commence par calculer le déterminant de ce système.
[tex]det = -2 + e^{-2 \pi \alpha} + 3 e^{2 \pi \alpha}[/tex].
Comment savoir si ce déterminant peut s’annuler ou pas?
Merci beaucoup.

J'avais fait une erreur de calcul.
Le déterminant est [tex]-1 - 3 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + 4 \cos^2 (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex].
On pose [tex]c = \cos (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex]. Le déterminant est nul, ssi [tex]c[/tex] vérifie l'équation de second ordre [tex]4 c^2 - 3 c -1 = 0[/tex]. Les solutions de cette équations sont [tex]c=-\dfrac{1}{4}[/tex] ou [tex]c=1[/tex].
Ainsi, le déterminant est nul ssi
[tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex] ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = - \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex]
ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex], ou [tex]\sqrt{\alpha^2} =- \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex].
Donc, pour ces valeurs de[tex] \sqrt{\alpha^2}[/tex], le système admet une solution unique [tex]c_1=c_2=0[/tex].
Et si [tex]\sqrt{\alpha^2}[/tex] ne prend pas ces valeurs, le déterminant n'est alors pas nul, et dans ce cas, le système admet une infinité de solutions si l'une des équations est multiple de l'autre, sinon, il n'admet aucune solution. Et je ne vois pas que l'une des équations est multiple de l'autre, alors que dire?

J'ai essayé de résoudre le système, mais je ne sais même pas par où commencer, les C_1 et C_2 sont quelconques. Que faire? Svp.

S'il vous plaît,
1- Est ce qu'on peut sortir l'intégrale d sous le crochet de dualité?
2- Et pour [tex]\delta' * vp(1/x)[/tex], on a bien [tex]\delta' * vp(1/x)= (vp(1/x))'[/tex]? Est-ce qu'on connaît cette dérivée de manière explicite?
3- donc, pour calculer [tex]T*f[/tex] avec T une distribution et f une finction, on écrit
[tex]T*f(x)= <T*f,\varphi>=<T, f(-.)\varphi> = <T,\int_{\mathbb{R}} f(y-x) \varphi(y) dy>[/tex]
Est-ce que T est au point x? (pour moi la distribution n'a pas de sens en un point, mais comment on peut sortir l'intégrale en dehors du crochet?
4- Par exemple, dans l'exemple: calculer [tex]T*e[/tex] moi j'écris ceci:
pour calculer $T*e$ où $T$ est une distribution à support compact. Voici ce que moi j'ai fait:
[tex]<(T*e)(x),\varphi>= <T,\int e^{x-y} \varphi(y) dy>[/tex]  par contre dans le corrigé, il est écrit que
[tex]<(T*e)(x),\varphi> = <T, x \to \int e^{y-x} \varphi(y) dy> = \int \varphi(y) e^y dy <T,s^{-x}>[/tex] donc [tex]T*e = <T,e^{-x}> e[/tex].
D'abord on n'a pas trouvé le même signe, et puis comment on conclut que [tex]T*e = <T,e^{-x}> e[/tex]?
Merci.

Pour calculer [tex]H*Pf(1/x)[/tex] c'est le cas du produit de convolution d'une fonction (la fonction de Heaviside) avec une distribution (la partie finie). Pour faire ce calcul, on prend une fonction test, [tex]\varphi \in D[/tex], et on a
[tex]< (f*T)(x),\varphi> = <T, f(-x)*\varphi>= <T, \int f(-x) \varphi(-x+y) dy>  [/tex]
Ici, avec [tex]f=H[/tex] et [tex]T=Ph(1/x)[/tex], ca donne
[tex]<Pf(1/x), \int H(-x)\varphi(-x+y) dy[/tex]
Je mélange entre x et y