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#1 12-03-2015 17:38:31
- htina
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convolution
Bonjour,
comment calculer le produit de convolution [tex]H * Pf(\dfrac{H}{x})[/tex], où Pf est la partie finie, et H est la fonction de Heaviside?
Comment calculer [tex]\delta' * vp(1/x)[/tex]? où[tex] vp(1/x)[/tex] est la valeur principale?
Je n'y arrive pas.
Merci beaucoup.
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#3 12-03-2015 22:17:16
- htina
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Re : convolution
Pour calculer [tex]H*Pf(1/x)[/tex] c'est le cas du produit de convolution d'une fonction (la fonction de Heaviside) avec une distribution (la partie finie). Pour faire ce calcul, on prend une fonction test, [tex]\varphi \in D[/tex], et on a
[tex]< (f*T)(x),\varphi> = <T, f(-x)*\varphi>= <T, \int f(-x) \varphi(-x+y) dy> [/tex]
Ici, avec [tex]f=H[/tex] et [tex]T=Ph(1/x)[/tex], ca donne
[tex]<Pf(1/x), \int H(-x)\varphi(-x+y) dy[/tex]
Je mélange entre x et y
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#4 12-03-2015 22:25:37
- Fred
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Re : convolution
Tu mélanges effectivement les x et les y dans le calcul de ton produit de convolution.
On a [tex]u\star v(x)=\int_{y=-\infty}^{+\infty}u(y)v(x-y)dy[/tex]
Toi, tu dois appliquer cela avec [tex]u(x)=H(-x)[/tex] et [tex]v=\varphi[/tex].
F.
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#5 12-03-2015 22:38:38
- htina
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Re : convolution
[tex]H*\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}} H(y) \varphi (x-y) dy[/tex] = \int_0^{+\infty} \varphi(x-y) dy
et par conséquent, [tex]<f*T,\varphi> = <T,\int_0^{+\infty} \varphi(x-y) dy> = <Pf(H/x), \int_0^{+\infty} \varphi(x-y) dy>[/tex]. On peut améliorer ce résultat?
Dernière modification par htina (12-03-2015 22:48:10)
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#7 12-03-2015 23:05:36
- htina
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Re : convolution
S'il vous plaît,
1- Est ce qu'on peut sortir l'intégrale d sous le crochet de dualité?
2- Et pour [tex]\delta' * vp(1/x)[/tex], on a bien [tex]\delta' * vp(1/x)= (vp(1/x))'[/tex]? Est-ce qu'on connaît cette dérivée de manière explicite?
3- donc, pour calculer [tex]T*f[/tex] avec T une distribution et f une finction, on écrit
[tex]T*f(x)= <T*f,\varphi>=<T, f(-.)\varphi> = <T,\int_{\mathbb{R}} f(y-x) \varphi(y) dy>[/tex]
Est-ce que T est au point x? (pour moi la distribution n'a pas de sens en un point, mais comment on peut sortir l'intégrale en dehors du crochet?
4- Par exemple, dans l'exemple: calculer [tex]T*e[/tex] moi j'écris ceci:
pour calculer $T*e$ où $T$ est une distribution à support compact. Voici ce que moi j'ai fait:
[tex]<(T*e)(x),\varphi>= <T,\int e^{x-y} \varphi(y) dy>[/tex] par contre dans le corrigé, il est écrit que
[tex]<(T*e)(x),\varphi> = <T, x \to \int e^{y-x} \varphi(y) dy> = \int \varphi(y) e^y dy <T,s^{-x}>[/tex] donc [tex]T*e = <T,e^{-x}> e[/tex].
D'abord on n'a pas trouvé le même signe, et puis comment on conclut que [tex]T*e = <T,e^{-x}> e[/tex]?
Merci.
Dernière modification par htina (13-03-2015 00:29:47)
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#8 14-03-2015 17:45:04
- htina
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Re : convolution
Salut,
soit T une distribution à support compacte. Si on calcule [tex]T*1[/tex], on trouve que c'est égalé à [tex]<T,1>[/tex], car
[tex]<T*1,\varphi>=<T,\int \varphi(y) dy> = \int \varphi(y) <T,1> dy[/tex]. Ici le crocher <T,1> est un crochet de dualité?? Merci beaucoup.
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#9 15-01-2016 17:21:59
- al khawarismi
- Invité
Re : convolution
Je peux donner le calcul exacte de [tex]\displaystyle H * Pf\left(\dfrac{H}{x}\right) [/tex] et [tex]\displaystyle H * vp\left(\dfrac{H}{x}\right) [/tex] si on manifeste l'interêt
#11 16-01-2016 02:07:16
- al khawarismi
- Invité
Re : convolution
$\newcommand\vp{\mathrm{vp}}$
Calcul de $T=H\star \vp(1/x)$. Pour tout
$\varphi\in\mathcal{D}$,
\begin{align*}
\langle T,\varphi\rangle&=\langle H(x)\otimes
\vp(1/y),\varphi(x+y)\rangle\\
&=\langle \vp(1/y),\langle
H(x),\varphi(x+y)\rangle\rangle\\
&=\Bigl\langle \vp(1/y),\psi(y)\Bigr\rangle\\
&=\lim_{\varepsilon\to0}\Bigl(\int_{|y|>\varepsilon }\frac1y\psi(y)dy\Bigr).
\end{align*} avec $\psi(y)=\langle
H(x),\varphi(x+y)\rangle=\int_0^{+\infty}
\varphi(x+y)\,dx$
Par Fubini
$$\Bigl(\int_{|y|>\varepsilon }\frac1y\psi(y)dy\Bigr)=\int_{|y|>\varepsilon }\frac1y\Bigl(\int_0^{+
\infty} \varphi(x+y)\,dx\Bigr)dy=
\int_0^{+\infty}\int_{|y|>\varepsilon }
\frac{\varphi(x+y)}y\,dydx.$$
$$(\text{IPP par rapport à y})= -
\int_0^{+\infty}\int_{|y|>\varepsilon }
\ln|y|\varphi'(x+y)\,dydx+\ln(\varepsilon)\int_0^{
+\infty}(\varphi(x-\varepsilon) - \varphi(x+\varepsilon))\,dx.$$
Re-Fubini sur la première intégrale
\begin{align*}
\int_{|y|>\varepsilon }\frac1y\psi(y)dy&=-
\int_{|y|>\varepsilon }
\ln|y|\int_0^{+\infty}\varphi'(x+y)\,dxdy +\ln(\varepsilon)\int_0^{
+\infty}(\varphi(x-\varepsilon) - \varphi(x+\varepsilon))\,dx
\\
&=
\int_{|y|>\varepsilon }
\ln|y|\varphi(y)\,dy+\ln(\varepsilon)\int_0^{
+\infty}(\varphi(x-\varepsilon) - \varphi(x+\varepsilon))\,dx
\end{align*}
à la limite $\varepsilon \to 0$,
$$
\langle T,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}
\ln|y|\varphi(y)\,dy+\lim_{\varepsilon\to 0}
\ln(\varepsilon)\Bigl(\int_{0}^{+\infty}
(\varphi(x-\varepsilon)-\varphi(x+\varepsilon))\,dx\Bigr)=\int_{-\infty}
^{+\infty} \ln|y|\varphi(y)\,dy.$$
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